espacios afines

Espacios Afines
Arturo Prudencio Nina
11 de abril de 2006

Si se tiene un espacio vectorial V, se puede dotar a un conjunto cualquiera A de una
estructura particular (estructura de espacio afín), definiendo en A una operación de traslación por
un vector de V.
Definición 1 Sea V un espacio vectorial real y A un conjunto no vacío. Se define la operación t de
traslación
t:A×V →A
(P, v) → P +v
tal que se cumpla lo siguiente:
1. Para todo P ∈ A, P + 0 = P ,
2. Para todo P ∈ A y v, w ∈ V , (P + v) + w = P + (v + w),
3. Para todo P, Q ∈ A existe un único v ∈ V tal que Q = P + v.
Se dirá que A dotado de esta operación es un espacio afín.
Los elementos de A son llamados puntos. Si P ∈ A y v ∈ V a veces se confunde con la
suma de un punto y un vector en lugar de la traslación de Ppor v.
Es importante tener una idea geométrica de lo que estamos diciendo: A es el conjunto de
puntos del espacio, mientras que V es el espacio vectorial obtenido a partir de todos los vectores fijos
que se pueden construir en A, módulo la relación de equipolencia (tener misma dirección y sentido).
Es decir, cuando A es el conjunto de puntos del espacio, V es el espacio vectorial 3 . Puedeayudar
pensar que entendemos 3 de dos formas diferentes: por un lado, como conjunto de puntos -que,
de momento, no tienen ni coordenadas ni nada- y por otro, como el espacio vectorial que sería un
conjunto de vectores que parten de un mismo sitio: el vector 0.

R

R

Nota 1 Algunas consecuencias de la definición
1. La primera condición es resultado de las otras dos. En efecto dado P ∈ Aexiste un único v ∈ V
tal que P + v = P y si sumamos el vector 0 tenemos que (P + v) + 0 = P + 0 luego por la
segunda condición tenemos (P + v) + 0 = P + (v + 0) = P + v, por lo que podemos escribir
P + v = P + 0 = P . De la unicidad de v concluimos que v = 0.
2. De la condición tenemos que si existe P ∈ A tal que P + v = P + w, entonces v = w.
3. Sean P, Q ∈ A, v ∈ V . Si P + v = Q + v entoncesP = Q.

1

−
→
4. La condición (3) permite definir el vector P Q como el único vector que relaciona los puntos P
−
→
y Q. En particular para todo punto P se tiene P + 0 = P por lo que P P = 0.
5. La condición (2) da sentido a la expresión
P + v1 + .. + vk = (...((P + v1 ) + v2 ) + ...) + vk = P + (v1 + .. + vk )
Proposición 1 Sean P, Q ∈ A, entonces
−
→
−
→
P Q = −QP
−
→
−
→−
→
Demostración. Por definición P Q el el único vector tal que P + P Q = Q y QP es el único vector tal
−
→
que Q + QP = P , luego:,
−
→
−
→
−
→
−
→ −
→
−
→ −
→
P + 0 = P = Q + QP = (P + P Q) + QP = P + P Q + QP = P + (P Q + QP )
Por lo tanto

−
→ −
→
0 = P Q + QP

−
→
−
→
de donde se tiene P Q = −QP
Proposición 2 Sean P, Q, R ∈ A entonces
−
→ −
→ −
→
P Q + QR= P R
−
→
−
→
−
→
Demostración. Tenemos R = P + P R, R = Q + QR y Q = P + P Q, luego
−
→
−
→
−
→ −
→
R = P + P R = Q + QR = P + P Q + QR
−
→ −
→ −
→
luego P Q + QR = P R
Corolario 1 Sean P, Q, R ∈ A, entonces
−
→ −
→ −
→
P R = QR − QP
Demostración.
−
→
−
→
−
→ −
→ −
→
Ya demostramos que P Q = −QP y que P R = P Q + QR. Luego:
−
→ −
→ −
→
−
→ −
→ −
→ −→
P R = P Q + QR = −QP + QR = QR − QP
−
→
−
→
Nota 2 Sabemos que si P, Q ∈ A, existe un único vector P Q tal que Q = P + P Q, esto nos permite
escribir
−
→
PQ = Q − P
De cierta forma esto define una suma particular (diferencia) de puntos de A. Pero debe remarcarse
−
→
que Q − P es solo una escritura simbólica de P Q.

1.

Vectores ligados

→
−
Definición 2 Sea P ∈ A. Se denotapor A el espacio vectorial asociado a A. El par ordenado (P, Q)
de puntos de A es llamado un vector ligado a P.
Por otra parte, es claro que la aplicación:
→
−
A×A→ A
2

−
→
(P, Q) → P Q
→
−
es una biyección entre los conjuntos de los vectores ligados en P y A , de esta manera se puede definir
una suma entre vectores ligados
−
→ −
→
(P, Q) + (P, R) = (P, P + P Q + P R)
y la...