Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales.

Definición: Se denomina Espacio Vectorial a un conjunto V de objetos, que se denominan vectores, con dos operaciones definidas: la suma y la multiplicación escalar (multiplicación por un número real), que satisface las siguientes condiciones:
i. Si x є V  y  y є V, entonces x + y  є V  (Clausura bajo la adición).
ii. Para todo x, y, z є V tenemos que (x + y) +z = x + (y + z)  (Asociativa bajo la adición).
iii. Existe un vector cero, 0 є V  tal  que  para  todo x є V tenemos que x + 0 = 0 + x = x (Existencia del vector cero).
iv. Si x є V existe un vector –x en V tal que x + (-x) = 0 (Existencia del inverso aditivo).
v. Si x,y є V entonces x + y = y + x (Conmutativa de la adición).
vi. Si x є V  y  α es un escalar, entonces αx є V(Clausura para el producto escalar).
vii. Si x,y є V  y  α es un escalar, entonces α(x + y) = αx + αy (Primera propiedad distributiva).
viii. Si x є V  y  α,β son escalares, entonces (α +β)x  = αx + βx (Segunda propiedad distributiva).
ix. Si x є V   y  α,β son escalares, entonces α ∙ (βx)  =  (α ∙ β)x (Asociativa de la multiplicación escalar).
x. Para todo vector x є V, tenemosque 1x = x (El escalar 1 se llama el elemento identidad de la multiplicación).

Ejemplos de Espacios vectoriales:

1. Sea V = {(x, y)│x, y  є R}.  Entonces V es un espacio vectorial.
2. Sea V = {(x, y)│ y ≥ 0}, donde V consiste de los pares ordenados en R2 que están en los Cuadrantes I y II.  V no es un espacio vectorial porque para el vector (1, 1) no existe el inverso (-1, -1) yaque (-1, -1) no es elemento de V.  Además si α < 0 entonces α(x + y) no es elemento de V.
3. Sea V = Rn = {(x1, x2, x3, …, xn)│xi є R para i = 1, 2, 3, …, n}.  Entonces V es un espacio vectorial.
4. Sea V = {0}.  Satisface las diez propiedades.  Es un espacio vectorial.  Usualmente se conoce como el espacio vectorial trivial.
5. Sea V = {1}.  No es un espacio vectorial pues 1 + 1 =2.  2 no es elemento de V (no satisface la propiedad de la clausura en la adición ni tampoco otras propiedades cuando α < 0).
6. Sea V = {(x, y)│y = mx, donde m es un número real fijo y x es un número real arbitrario}.   Esto es, que  V  consiste de todos los puntos en la recta y = mx que pasa por el origen con pendiente m.  Es un espacio vectorial.
 
7. Sea V = {(x, y)│y = 2x + 1, xє R}.  Esto es, V es el conjunto de todos los puntos en la recta y = 2x + 1.  V no es un espacio vectorial, pues no satisface la propiedad de clausura.  Veamos, sean (x1, y1), (x2, y2) є V, entonces:
 
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2,  y1 + y2)
                          =  (x1 + x2, 2x1 + 1 + 2x2 + 1)
                          =  (x1 + x2, 2x1 + 2x2 + 2) lo cual no es elemento de V
 
8.Sea  V = Pn,  el conjunto de polinomios con coeficientes reales  de grado n ≥ 1.  Si p є Pn, entonces p(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0, donde ai es real.  Pn es un espacio vectorial.
9. Sea V = M23, el conjunto de matrices de orden 2 x 3 con elementos reales.  M23 es un espacio vectorial.
10. Sea V = Mmn, el conjunto de matrices de orden m x n con elementos reales, entonces es unespacio vectorial.
11. Sea V = C[0, 1], el conjunto de funciones continuas con valores reales definidos en el intervalo cerrado [0, 1].  Entonces C[0, 1] es un espacio vectorial.
12. Todas las rectas que pasan por el punto (2,3) no forman un espacio vectorial.
13. Todas las rectas que pasan por el punto (0, 0) son un EV.
14. Todos los planos que pasan por el punto (2, 3, -4) no son unEV
15. Todos los planos que pasan por el punto (0, 0, 0) son un EV.

Independencia Lineal, Bases y Dimensión.

1. Considere un espacio Vectorial V, los vectores v1, v2, …, vk elementos de ese espacio vectorial.

Se denomina combinación lineal de los vectores v1, v2, …, vk al vector w resultante de la operación w = a1 v1 + a2 v2 + … + ak vk, donde los ai son números reales. Esto es,...