Estadistica 4

2.2. Fundamentos de análisis combinatorio
Primero, definamos el factorial de un número entero positivo

nt.:n x (r¿- 1) x "'x2xl,

.

r¿

como el producto

con 0!

:1.

Ahora, consideremos un conjunto finito compuesto"por r¿ elementos diferentes: {a1ra2,...,an}, Se
desea formar una colección constituida por k elementos (k < n). EI número de estos subconjuntos
depende de si los conjuntos sonordenados o no. Las colecciones ordenadas se llaman uariaciones y
Ias no ordenadas combinaciones.

.',..

2.2. F\tndamentos de análisis combinatorio

53

(de,variación) Se denomina varia"io, u
l?.IT]ant^"-11*
de otro de n elementos (k < n), de manera que estos arregtos
difieren en algún
:lll]llllt:
elemento o en el orden de colocación.
El número de variaciones de k elementos que pueden obtenersepartir
a
de un conjunto de n elementos,
\ tk,nl

rL (n k)l'
-

se denominu
:,:::::". !1:,:"*binación)
"o*bi,,
otro de,r¿ elementos
r), sin tener en cuenta er orclen de los mismos, de
;::T:""lrj:^'1T1T:.1"
.(k l
manera que no pueden
i

haber dos combinaciones con los mismos elementos.

EI número de comhinaciones de k elernentos que pueden obtenerse partir
a
de un conjunto de n
dementos, denotado porCfi, es iguai a

¡k-

nl

"" A C*

¡r1@-

Q)

¡¡)r.'

se le denomina coefic,iente b,inom,ial.

Elemplo' Encontrar el número de variaciones y de combinaciones de dos elementos
que se pueden
obtener a partir del conjunto {a,b,c}.
hluci,ón:
a)

Se tiene

n.: J y k:2.

: jL - - ;6 :6
" (3-2)! t'

Se pueden formar VA

(a,b).,

b)

Se pued.en

formar g3

variaciones, que son:

(b,a), (a,c), (c,(r),(b,c), (c,b).

: -_-!l_
2!(3 -2)l

6

2.r

:

3 combinaciones:

{o,b}, {o,"}, {b,"}.
finición (de permutación) Una permutu"iO"
los

E

n elementos distintos.

a

número de permutaciones de n.elementos es igual a

Pn:

?t'!'

Encontra,r las permutaciones que se pueden fbrmar
a
Son P3

:

3!

:

partir der conjunt o {a,b,c}.

6 permutacit.¡nes; ésLas son:(a,b,c),.(a,c,b),(c,a,b),(c,b,a),(b,c,a),(b,a,c).<
conside¡emos dos cbnjuntos de rn

y

r¿

erementos, respectivamente:

A: {at,a2,...,a*} y B : {h,bz,...,bn}.

Capítulo

54

2. El Concepto de Probabilidad

d

Parejas. Con los rn elementos de -4 y los n elementos de -B es posible formar n'Lxn parejas (a¡,bn)
que contengan un elementos de cada conjunto.

¡

-1
de calzado se con feccionan 4 modelos.de zapatos para damas, en 6 tam anosdiferentes. Por 1o tanto, se pueden fabricar 4x 6:24 distintos tipos de zapatos.

Ejemplo. En una fábrica

Generalicemos este concepto a arreglos múltiples.

Arreglos múltiples. Consideremos los conjuntos A: {aUa2,t...,a*) de rn elementos, B:
{h,bz,...,bn} de r¿ elementos, y asÍ sucesivamente hasta G: {gr,92,...,9"} de s elementos' Con
elios es posible formar rn x n x ... x s arreglos (a¿,b¡,...,gr)que contienen un elemento de cada
conjunLo.

Otra forma de ver este concepto es considerar un procedimiento Aque se puede realizar de rn maneras;
un procedimiento B de n maneras; y asÍ sucesivamente, hasta un procedimiento G de s maneras.
La acción consistente en realizar el procedimiento A, seguido del procedimiento B, hasta llegar al
procedimiento G; se puede efectuar de rn x n x '" x s manerasdiferentes.

Ejemplo.. Suponga que se clasifica a un grupo de estudiantes universitarios según su sexo, estado
civii y la carrera que estudian. El sexo puede ser masculino o femenino; el estado civil puede ser
soltero, casadoo divorciado; y, digamos quehayT carreras. Entonces, hayun total de 2 x 3 x 7:A
Anteriormente, se examinó las permutaciones de elementos de un conjunto, pero sin repetición;si ahora
queremos determinar las permutaciones con repetición, bastará considerar en los arreglos múltiples d
mismo conjunto.

Ilefinición (de permutación con repetición) Una permutación

con repetición, de & elementos
óbtenidos a partir de un conjunto de r¿ elementos, es un arreglo de k elementos ordenados en el que
los elementos pueden repetirse arbitrariamente.

El númeró de permutaciones'con...