estadistica variable aleatoria discreta

L.A. – C.P.N.
FCE-UNCuyo

ESTADÍSTICA 2013

UNIDAD Nº 3
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Los espacios muestrales continuos surgen cuando las cantidades se miden en una escala
continua. Por ejemplo: cuando medimos la velocidad de un automóvil, el peso de un
determinado producto, la cantidad de nicotina que contiene un cigarrillo, etc. En estos
casos, existen infinitas posibilidades y en lapráctica lo que realmente interesa, son
probabilidades asociadas con intervalos o regiones y no números o puntos individuales
de un espacio muestral. Decimos entonces que:
Si un experimento aleatorio da lugar a un número infinito y no numerable de resultados,
entonces la variable aleatoria es continua.

Definición: Se dice que una variable aleatoria X es continua (v.a.c.) si sus valoresforman uno o más intervalos de la recta real1.

1.- FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA O

ACUMULATIVA DE

UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Sea X : S → R que está definida en un espacio de probabilidad (S,P) y X (S ) es un
conjunto infinito no numerable. Su función de distribución acumulada, se define:

FX : R → [0,1]

tal que

FX ( x) = P( X ≤ x);

∀x ∈ R

La función de distribuciónacumulada de una v.a.c. es siempre una función
continua, y su representación gráfica es del tipo:
FX

1

1

X

Canavos, G. (1998). Probabilidad y Estadística- Ed. Mc Graw-Hill- México. Pág 53.

62

L.A. – C.P.N.
FCE-UNCuyo
1.1-

ESTADÍSTICA 2013

PROPIEDADES FUNDAMENTALES

i) lím FX ( x) = 1

lím FX ( x) = 0

x→÷ ∞

x →⋅ − ∞

ii) Es una función no decreciente ocreciente en sentido amplio:

x1 < x 2

⇒

FX ( x1 ) ≤ FX ( x 2 )

iii) Es una función continua para todo x ε R

lím FX ( x + h) = FX ( x)
h →0
h >0

X es continua ⇒ lím FX ( x − h) = FX ( x) = lím FX ( x + h)
h →0
h >0

h→0
h>0

2.- FUNCIÓN DENSIDAD DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE
ALEATORIA CONTINUA
Sea X una v.a.c. definida en el espacio de probabilidad (S,P) y FX la función dedistribución acumulada de X. Se llama función densidad de probabilidad de la v.a.
+
X a cualquier función no negativa f X: R → R0 tal que:

FX ( x) = ∫

x

−∞

f X (u )du;

∀x ∈ R

(u variable auxiliar de integración)

Primitiva de f X

fX es la función densidad y es la derivada de la función de distribución acumulada en
cada punto donde ésta es derivable. Es decir, que encada punto donde FX es derivable
se cumple:

f X ( x) = FX ´(x) =

dF ( x)
, en cada punto en el que existe la derivada.
dx

2.1- PROPIEDADES FUNDAMENTALES
i)

f X ( x) ≥ 0 ∀x donde FX es derivable.

63

L.A. – C.P.N.
FCE-UNCuyo

ESTADÍSTICA 2013

Como f X es la derivada de FX (en casi todo punto) y ésta es una función no decreciente, sus
derivadas son no negativas.
ii)

∫+∞

−∞

f X ( x )dx = 1

Demostración:

∫

+∞

−∞

f X ( x )dx = lim

x → +∞

∫

x

−∞

f X ( u )du = lím FX ( x ) = 1 (por prop1 de la

función de distribución acumulativa), luego

x → +∞

∫

+∞

−∞

f X ( x )dx = 1

Se deduce de esto que el área total situada debajo de la curva de la función
densidad es siempre igual a 1.
Observaciones:
• fX (x) puedetomar valores mayores que uno (no representa una probabilidad en x).

• Sea X una variable aleatoria continua. La probabilidad de que la variable aleatoria
X tome valor en un punto es igual a cero:

P ( X = x) = 0, ∀x ∈ R En efecto,
P ( X = x) = lím [P ( x − h < X ≤ x)] = lím[P ( X ≤ x) − P ( X ≤ x − h)] =
h →0
h >0

h →o
h >0

= P ( X ≤ x) − lím P ( X ≤ x − h) = FX ( x) − FX ( x) ≡ 0(este último límite por

h →o
h >0

la izquierda coincide con el valor de la función en el punto por ser continua).
• La probabilidad es una medida dada por una integral definida.
En el siguiente gráfico observamos que la probabilidad que la variable aleatoria
X tome algún valor entre a y b (siendo a y b valores reales tal que a < b), está
representada por el área bajo la curva de la...