Estructuras Algebraicas
Páginas: 5 (1165 palabras)
Publicado: 2 de diciembre de 2012
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Una Estructura Algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío y una relación ó ley de composición interna definida en él. En algunos casos más complicados puede definirse más de una ley de composición interna y también leyes de composición externa.
Monoide
El par (A, ) donde A es un conjunto no vacío dotado de una operación ó ley decomposición interna se denomina monoide.
Ejemplos de monoide.
( N , + ) , ( Z , + ) , ( Q , + ) , son monoide.
( N , - ) no es un monoide porque la sustracción no es ley de composición interna en N.
( N , ) donde está definido como a b = máx.{a , b} es un monoide.
Grupo
Sea el par (A , ) , donde A esun conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria : (A , ) es un grupo ó se define sobre A una estructura de grupo sí:
a) es asociativa. Es decir , , : a, b, c A
b) posee elemento neutro en A. Es decir / , si
c) Todo elemento de A es invertible en A respecto de .
Es decir , /
Grupo Abeliano
Dada unaestructura algebraica sobre un conjunto A, y con una operación o ley de composición interna binaria: " ". Se dice que la estructura es un grupo abeliano con respecto a la operación si:
1. tiene estructura algebraica grupo
2. tiene la Propiedad conmutativa
Los grupos que no son conmutativos se denominan no abelianos (también no conmutativos, con menos frecuencia).
Ejemplos
1) El par ( Z ,) donde Z es el conjunto de los números enteros y es una operación definida como a b = a + b + 3 forma un grupo abeliano.
Comprobación:
es una ley de composición interna en Z pues si a y b Z , a + b + 3 Z
es asociativa pues
= (a + b +3) c = a + b +3 + c +3 = a + b + c + 6
y = a (b + c + 3) = a + b + c + 3 + 3 = a + b+ c + 6
tiene elemento neutro e = –3 , pues
, a e = a entonces a + e +3 = a e = –3
y e a = a entonces e + a + 3 = a e = –3
tiene inverso , en nuestro caso
= –3 = –3 luego a´ = – a – 6 es inverso a derecha
= –3 luegoa´ = – a – 6 es inverso a izquierda
es conmutativa pues = a + b + 3 = b + a + 3 =
Otros ejemplos:
1 ) ( Z , + ) ; ( Q , + ) ; ( R , + ) y ( C , + )
Son grupos abelianos, También se llaman grupos aditivos debido a la operación aditiva.
2 ) ( N , + )No es grupo. No tiene neutro ni inverso de cada elemento.
3 ) ( N0 , + ) No es grupo. Tiene neutro, el 0 , pero no tiene inverso aditivo.
4 ) ( Q , ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo.
5 ) ( R , ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo.
6 ) ( Q – { 0 } , ) y( R – { 0 } , ) Son grupos.
Anillo
Dados, un conjunto no vacío A y dos leyes de composición interna y , la terna ordenada (A , , ) tiene estructura de Anillo si y solo si
a) es asociativa. Es decir , , : a, b, c A
b) posee elemento neutro en A. Es decir / , si
c) Todo elemento de A es invertible en A respecto de .Es decir , /
d) es conmutativa. Es decir , : a, b A
Estas 4 propiedades muestran que ( A , ) es un grupo abeliano.
e) es asociativa. Es decir , , : a, b, c A (a b) c = a ( b c)
Esta propiedad muestra que ( A , ) es un semigrupo.
f) distribuye doblemente sobre . Es decir, , , : a, b,...
Una Estructura Algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío y una relación ó ley de composición interna definida en él. En algunos casos más complicados puede definirse más de una ley de composición interna y también leyes de composición externa.
Monoide
El par (A, ) donde A es un conjunto no vacío dotado de una operación ó ley decomposición interna se denomina monoide.
Ejemplos de monoide.
( N , + ) , ( Z , + ) , ( Q , + ) , son monoide.
( N , - ) no es un monoide porque la sustracción no es ley de composición interna en N.
( N , ) donde está definido como a b = máx.{a , b} es un monoide.
Grupo
Sea el par (A , ) , donde A esun conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria : (A , ) es un grupo ó se define sobre A una estructura de grupo sí:
a) es asociativa. Es decir , , : a, b, c A
b) posee elemento neutro en A. Es decir / , si
c) Todo elemento de A es invertible en A respecto de .
Es decir , /
Grupo Abeliano
Dada unaestructura algebraica sobre un conjunto A, y con una operación o ley de composición interna binaria: " ". Se dice que la estructura es un grupo abeliano con respecto a la operación si:
1. tiene estructura algebraica grupo
2. tiene la Propiedad conmutativa
Los grupos que no son conmutativos se denominan no abelianos (también no conmutativos, con menos frecuencia).
Ejemplos
1) El par ( Z ,) donde Z es el conjunto de los números enteros y es una operación definida como a b = a + b + 3 forma un grupo abeliano.
Comprobación:
es una ley de composición interna en Z pues si a y b Z , a + b + 3 Z
es asociativa pues
= (a + b +3) c = a + b +3 + c +3 = a + b + c + 6
y = a (b + c + 3) = a + b + c + 3 + 3 = a + b+ c + 6
tiene elemento neutro e = –3 , pues
, a e = a entonces a + e +3 = a e = –3
y e a = a entonces e + a + 3 = a e = –3
tiene inverso , en nuestro caso
= –3 = –3 luego a´ = – a – 6 es inverso a derecha
= –3 luegoa´ = – a – 6 es inverso a izquierda
es conmutativa pues = a + b + 3 = b + a + 3 =
Otros ejemplos:
1 ) ( Z , + ) ; ( Q , + ) ; ( R , + ) y ( C , + )
Son grupos abelianos, También se llaman grupos aditivos debido a la operación aditiva.
2 ) ( N , + )No es grupo. No tiene neutro ni inverso de cada elemento.
3 ) ( N0 , + ) No es grupo. Tiene neutro, el 0 , pero no tiene inverso aditivo.
4 ) ( Q , ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo.
5 ) ( R , ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo.
6 ) ( Q – { 0 } , ) y( R – { 0 } , ) Son grupos.
Anillo
Dados, un conjunto no vacío A y dos leyes de composición interna y , la terna ordenada (A , , ) tiene estructura de Anillo si y solo si
a) es asociativa. Es decir , , : a, b, c A
b) posee elemento neutro en A. Es decir / , si
c) Todo elemento de A es invertible en A respecto de .Es decir , /
d) es conmutativa. Es decir , : a, b A
Estas 4 propiedades muestran que ( A , ) es un grupo abeliano.
e) es asociativa. Es decir , , : a, b, c A (a b) c = a ( b c)
Esta propiedad muestra que ( A , ) es un semigrupo.
f) distribuye doblemente sobre . Es decir, , , : a, b,...
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