FACTORIZACI N I

CONTEO DE FACTORES PRIMOS
El número de factores primos de un polinomio (factorizado) se
obtiene contando los factores primos que se encuentran como
base de una potencia y que contienen a la variable.
Ejemplo:

P(x) = 4(x - 2)2 (x + 3)2 (x + y)5
Tiene 3 factores primos.

1
FACTORIZACIÓN I
Es transformar un polinomio en el producto indicado
de factores primos.
En la multiplicación algebraica setiene.



Q(x) = 3x(x - 3)2 (x2 + 2)2 (x2 + y2)
Tiene 4 factores primos:
2 lineales: x; x – 3
2 cuadráticos: x2 + 2; x2 + y2



F(x, y) = 5x3y2(x - 4)3(x2 – x + 1)5 (y - 3)4
Tiene 5 factores primos:
4 lineales: x; y; (x - 4); (y - 3)
1 cuadrático: x2 – x + 1

(x + 3) (x2 – 3x + 9)  x3 + 27

Factores

Producto

El problema que nos planteamos ahora es, dado el
polinomio producto debemos hallar losfactores que lo
originan. Si conseguimos los factores habremos
factorizado el polinomio.
Así:
x3 + 27  (x + 3)(x2 – 3x + 9)
Factor Primo
Es aquel
descomposición.
Ejemplo:

x :

x+1

x–2

x+y

x2 + 1

1
:
:
:
:

;
1
1
1
1

polinomio

x
;
;
;
;

que

no

admite

x+1
x–2
x+y
x2 + 1

CRITERIOS PARA FACTORIZAR
Existen diversos criterios para factorizar polinomios entre
ellos tenemos:
1.

FACTORCOMÚN Y AGRUPACIÓN
Se aplica en polinomios donde todos sus términos tienen
una o más variables y/o constantes comunes. En caso de
no haber algún factor común, se agrupara
convenientemente tratando de que aparezca algún factor
común.
Ejemplo:

Factorizar:
5x10y5 – 10x7y8 – 25x11y9
= 5x7y5(x3 – 2y3 – 5x4y4)


Factorizar:
(a + b + c)m2 + (a + b + c)n2 + (a + b +
c)p2
= (a + b + c)(m2 + n2 + p2)

Factorizar:
(2x – 3y + z)a + (3y – 2x - z)b
Cambiando de signo a los términos del
segundo paréntesis:
(2x – 3y + z)a – (2x – 3y + z)b
Encontramos factor común.
(2x – 3y + z) (a - b)



Factorizar:
a2x2 + b2y2 + a2y2 + b2x2

Por Regla Práctica, todo factor primo
tiene 2 factores o divisores la unidad y el
mismo factor.

Factor Compuesto
Es aquel que resulta de la combinación de los
factoresprimos.
x+3
x+4
(x + 3)(x + 4)
(x + 3) (x + 4)
1

PROF.: Jorge A. Caira Larico

BANCO PERSONAL DE PREGUNTAS

Agrupando en forma conveniente.
a2(x2 + y2) + b2(x2 + y2)
Sacando el factor común:
(x2 + y2) (a2 + b2)


Agrupando en forma conveniente.
(x(a + b) – 3(a + b)) (x(a - b) + 3(a - b))
Tomamos el factor común.
(a + b)(x - 3) . (a - b)(x + 3)

Factorizar:
ax + by + cz + bx + cy + az + cx + ay + bzc)

(x + y)(x2 – xy + y2) = x3 + y3
(x - y)(x2 + xy + y2) = x3 - y3

Agrupando de 3 en 3.
x(a + b + c) + y(b + c + a) + z(c + a + b)
Sacando el factor común:
(a + b + c) (x + y + z)
2.



CRITERIO DE LAS IDENTIDADES
Consiste en aplicar los productos notables
en forma inversa.
a)

Trinomio Cuadrado Perfecto
(x ± y)2  x2 ± 2xy + y2

x


Factorizar:

3.

y

2(x)(y) = 2xy

CRITERIO DEL ASPA SIMPLESe aplica para factorizar polinomios de la
forma:
P(x) = Ax2n + Bx4 + C
ó
P(x, y) = Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo:

Factorizar:
P(x) = x2 + 8x + 15
x
5
x
3

x
3y
2(x) (3y) = 6xy
Factorizar:
4x2n – 12x4y4 + 9y2n = (2x4 – 3yn)2



Factorizar: x4 - 1
Solución:
Dando la forma de diferencia
cuadrados.
(x2)2 – 12 = (x2 + 1)(x2 - 1)
Podemos seguir descomponiendo.
x4 – 1 = (x2 + 1)(x + 1)(x - 4)

5x
3x8x



Diferencia de Cuadrados
(x + y) (x - y) = x2 – y2






Luego:
Se toman los factores en forma horizontal.
P(x) = (x + 5)(x + 3)

2xn
3yn
n
n
2(2x ) (3y ) = 12x4yn
b)

Factorizar: 64a6 – b6
Por diferencia de cuadrados.
(8a3 + b3) (8a3 – b3)
Ahora factorizamos por suma y diferencia
de cubos.
(2a + b)(4a2 – 2ab + b2)(2a - b)(4a2 + 2ab + b2)

{m; n}  ℕ

x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2



Suma yDiferencia de Cubos

de

Factorizar:
P(x) = 10x2 - 13x – 3
Descomponiendo los extremos.
10x2 - 13x – 3
5x
1

2x
2x
-3
 -15x
-13x
Luego:
P(x) = (5x + 1) (2x - 3)

Factorizar: (ax – 3b)2 – (bx – 3a)2
Por diferencia de cuadrados.
(ax – 3b + bx – 3a) (ax – 3b – bx + 3a)

PROF.: Jorge A. Caira Larico

BANCO PERSONAL DE PREGUNTAS

8. Factorizar:

TRABAJO EN CLASE

F(x; y) = (x2 – y2)2 – (y2 – z2)2...