Formas canonicas

REPRESENTACIONES CANÓNICAS DE ECUACIONES DE ESTADO:

Un sistema físico complejo, posee muchas entradas y salidas que interactúan entre sí en una forma complicada. Para analizar un sistema de este tipo, es esencial reducir la complejidad de las expresiones matemáticas, además de reducir a una computadora que realice gran parte de los tediosos cálculos necesarios en el análisis.
Por esta razón,el enfoque en el espacio de estados para los análisis de sistemas es el más conveniente desde ese punto de vista.
La teoría de control moderna se basa en la descripción de las ecuaciones de un sistema en término de “n” ecuaciones diferenciales de primer orden. Existen muchas técnicas para obtener representaciones en el espacio de estados de sistemas, basados en la función de transferencia.Supongamos un sistema descrito por la siguiente ecuación diferencial de orden “n”:

yn+a1yn-1+…+an-1y+any=bmu+bm-1u+…+b1um-1+b0um … Ecuación 1

yn es la derivada de orden mayor, por lo tanto se necesitan “n” variables de estado. Diferentes elecciones de variables de estado producen diferentes (pero por supuesto equivalentes) modelos de estado para el mismo sistema.

Resolver esta ecuacióndiferencial de grado “n” que describe al sistema dinámico, resultaría en largos procedimientos tediosos mediante métodos convencionales tales como transformada de Laplace, por lo tanto es necesario acondicionar esta ecuación de de tal manera que nuestro análisis sea más práctico.

El objetivo es convertir mediante sustituciones y acondicionamiento algebraico, esta ecuación diferencial de grado “n”,en un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer grado lineales e invariantes en el tiempo, para posteriormente hacer una representación matricial de las variables de estado del sistema.

Haciendo una elección especial de todas las variables de estado posibles en el sistema, obteniendo diversos sistemas de ecuaciones diferenciales de primer grado lineales e invariantes en el tiempo peromutuamente equivalentes, surgen las “representaciones canónicas de modelos de estado”.

Los modelos canónicos reflejan un alcance más ordenado y estructurado pata la formulación de modelos de estado. Tienen la ventaja de hacer más ameno el análisis de un sistema y el diseño del control que un modelo no canónico.

Concretamente, en análisis de sistemas dinámicos, una representación canónica, esuna representación equivalente en el espacio de estados de un sistema lineal e invariante en el tiempo a partir de su modelo matemático (ecuación diferencial ordinaria en invariante en el tiempo de grado “n”).

Existen diversos tipos de representaciones canónicas, para obtener tales representaciones hacemos uso de distintas técnicas, estas dependen del tipo de análisis que se desea realizar y delos resultados que se pretenden alcanzar.

* Observable
* Controlable
* De observabilidad
* De Controlabilidad
* Diagonal

FORMAS CANÓNICAS

A continuación analizaremos con detalle, el acondicionamiento algebraico y técnicas utilizadas para la construcción de las diversas formas canónicasde el modelo de estado descrito por la ecuación 1.FORMA CANÓNICA DE OBSERVADOR:
Supongamos un sistema dinámico descrito por la siguiente ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo, obviamente con condiciones iniciales igual a cero.

y+a1y+a2y+a3y=b3u+b2u+b1u … Ecuación 2

Consideremos la siguiente sustitución D=ddt considerado como el operador derivador y a D-1 como el operador análogo inverso, el cual representa unaintegral. Por lo tanto sustituyendo se tiene:

D3y+a1D2y+a2Dy+a3y=b3u+b2Du+b1D2u … Ecuación 3

Despejando la derivada de mayor orden (D3y) tenemos:

D3y=-a1D2y-a2Dy-a3y+b3u+b2Du+b1D2u … Ecuación 4

Factorizando y reagrupando tenemos:
Dy=-a1y+b1u+1/D-a2y+b2u+(1/D2)(-a3y+b3u) … Ecuación 5

Definiendo la siguiente variable de estado:
Dx3=Dy … Ecuación 6

x3=y …...