Fourier

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Universidad Nacional Experimental Politecnica
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“Antonio Jose de Sucre”
Vicerrectorado Puerto Ordaz
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Seccion De Matematica
Ensayo sobre Series de Fourier
Autor: Prof. Yoel Monsalve
Uno de los problemas t´
ıpicos en el ´mbito de las series infinitas de funciones, es saber
a
si la derivaci´n t´rmino a t´rmino de la serie resulta v´lida o no. La derivaci´n formal
oe
e
a
ot´rmino a t´rmino de la serie de Fourier de una funci´n peri´dica conduce muchas veces
e
e
o
o
a resultados absurdos. Por ejemplo, para la serie
∞

φ(t) =
n=1

(−1)n
cos(nt) ,
n2 + 1

la derivaci´n t´rmino a t´rmino producir´
oe
e
ıa
∞

φ (t) =

−
n=1

(−1)n · n2
cos(nt) ,
n2 + 1

que no converge debido al criterio de Riemann, porque
(−1)n · n2
n→∞
n2 + 1
l´
ım

noes cero, de hecho, ni siquiera existe este l´
ımite.
El objetivo de esta exposici´n es presentar un resultado para la validez de la derivaci´n
o
o
t´rmino a t´rmino de la serie de Fourier de una funci´n f , bajo las siguientes condiciones:
e
e
o
(i)

que f sea estrictamente par, o estrictamente impar, con semi–periodo b.

(ii) que f sea continua en el intervalo [0, b] (continualateralmente desde adentro en cada
extremo).
(iii) que exista la derivada f en todo el intervalo [0, b] (lateralmente desde adentro en
cada extremo).
N´tese que la primera condici´n no es para nada restrictiva: en efecto, toda funci´n puede
o
o
o
descomponerse en la suma de una componente par, y una componente impar. Luego, basta
aplicar el resultado a cada parte. Respecto a lo segundo, esimportante que la funci´n sea
o
+
−
continua en el abierto (0, b), y existan los l´
ımites laterales finitos en 0 y en b , aunque el
resultado podr´ modificarse para incluir discontinuidades finitas aisladas en el interior del
ıa
intervalo (situaci´n que no consideraremos aqu´ para evitar complicaciones adicionales).
o
ı,

La soluci´n que presentaremos no involucra en realidad aspectoscomplejos, m´s all´ de
o
a
a
una integraci´n por partes. Se basa fundamentalmente en enfocar el problema desde otro
o
punto de vista.
Comencemos considerando una funci´n f (t), peri´dica, con periodo 2b, con simetr´ impar
o
o
ıa
y continua en [0, b]. Entonces, admite la serie de Fourier
∞

f (t) =

bn sen(nω0 t),

π
,
b

ω0 =

n=1

(siendo v´lida la igualdad para 0 < t < b,donde la serie converge a f (t)). Como f es
a
impar, su derivada (suponiendo, claro est´, que exista) ser´ una funci´n par y peri´dica,
a
a
o
o
luego admitir´ el desarrollo en serie de Fourier
a
A0
f (t) =
+
2

∞

An cos(nω0 t)
n=1

Ahora la cuesti´n es c´mo obtener los coeficientes An de la serie para f . Afirmar que la
o
o
derivaci´n formal t´rmino a t´rmino es v´lida,equivaldr´ a decir que
o
e
e
a
ıa
An = nω0 bn ,
y es precisamente lo que queremos discutir. De hecho, afirmamos que esto no es cierto,
o al menos no de ese modo exactamente. En efecto, los coeficientes de Fourier para f
vienen dados por
2b
2
A0 =
f (t) dt =
f (b− ) − f (0+ )
b0
b
y
An =

2
b

2
=
b

b

f (t) cos(nω0 t) dt
0

f (t) cos(nω0 t)

b
0

b

+ nω0

f (t)sen(nω0 t) dt
0

2
2
=
f (b− ) cos(nπ ) − f (0+ ) + nω0 ·
b
b
= nω0 bn +

2
(−1)n f (b− ) − f (0+ )
b

b

f (t) sen(nω0 t) dt
0

(n ≥ 1)

donde bn es el n-´simo coeficiente de Fourier de f (t). Esto muestra que, conocida la serie
e
de Fourier de la funci´n (impar) f (t), podemos obtener directamente la serie de Fourier
o
para f .
Es, de cierto modo, una forma de hacer v´lida laahnelada derivaci´n t´rmino a t´rmino,
a
oe
e
y n´tese que no requerimos la hip´tesis de la continuidad de f , s´lo la continuidad de f ,
o
o
o

y la existencia de f . Claro, ser´ necesario a˜adir la continuidad de f si queremos que la
a
n
serie de Fourier de f converja a f .
Ahora pasemos al caso en que f sea par, peri´dica con periodo 2b y continua en [0, b].
o
Entonces...