Fractal

Fractal
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En la naturaleza tambiénaparece la geometría fractal, como en esta romanescu.
Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.[1] El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.
A un objeto geométrico fractal se leatribuyen las siguientes características:[2]
* Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
* Posee detalle a cualquier escala de observación.
* Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente).
* Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
* Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
Nobasta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.
Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras[3] o loscopos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.
Contenido[ocultar] * 1 Introducción * 1.1 Los ejemplos clásicos * 1.2 Los conjuntos de Julia * 1.3 Familias de fractales: el conjunto de Mandelbrot * 2 Características de unfractal * 2.1 Autosimilitud * 2.2 Dimensión fractal y dimensión de Hausdorff-Besicovitch * 2.3 Definición por algoritmos recursivos * 3 Aspectos matemáticos * 3.1 Intentos de definición rigurosa * 3.2 Dimensión fractal * 3.3 Dimensión de Hausdorff-Besicovitch * 3.4 Dimensión de fractales producidos por un IFS * 4 Aplicaciones * 4.1 Compresión de imágenes* 4.2 Modelado de formas naturales * 4.3 Sistemas dinámicos * 4.4 En manifestaciones artísticas * 5 Véase también * 6 Referencias * 7 Enlaces externos |
[editar] Introducción
La definición de fractal en los años 1970, dio unidad a una serie de ejemplos, algunos de los cuales se remontaban a un siglo atrás:
[editar] Los ejemplos clásicos
Para encontrar los primeros ejemplosde fractales debemos remontarnos a finales del siglo XIX: en 1872 apareció la función de Weierstrass, cuyo grafo hoy en día consideraríamos fractal, como ejemplo de función continua pero no diferenciable en ningún punto.

sucesivos pasos de la construcción de la curva de Koch
Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedades similares pero una definición más geométrica. Dichos ejemplos podíanconstruirse partiendo de una figura inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construcciones geométricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura límite que correspondía al que hoy llamamos conjunto fractal. Así, en 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedades similares a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinskiconstruyó su triángulo y, un año después, su alfombra.
Construcción de la alfombra de Sierpinski: |
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Paso 1 (semilla) | Paso 2 | Paso 3 | Paso 4 | Paso 5 | |
Estos conjuntos mostraban las limitaciones del análisis clásico, pero eran vistos como objetos artificiales, una "galería de monstruos", como los denominó Poincaré. Pocos matemáticos vieron la necesidad de estudiar estos...