Fun Exp Y Log

Matemática

Funciones Reales de Variable Real

4.7.8. Función exponencial.
Problemas tales como el valor de una inversión en el tiempo, una partícula de radio o la
población de un país, tienen características comunes desde el punto de vista matemático, pues
se pueden representar por una función exponencial.
En las funciones algebraicas, la variable siempre aparece en la base de cualquier potenciay el
exponente de cualquier base es constante.
Por ejemplo en la función cuadrática definida por f(x) = x2, la variable x está posicionada en
la base y la constante, 2, en el exponente. En la función exponencial se intercambia las
posiciones de la variable y la constante, de manera que se mantiene constante la base de una
potencia y se varía el exponente. Así, tenemos la siguiente definición:Definición.- Se denomina función exponencial de base a
x
definida por y = a
( a > 0 y a ≠ 1)

a la función f

El dominio es el conjunto de los números reales y la imagen son los valores de y tal que
0 

Propiedades
Si a > 0 y b > 0, x e y números reales, se cumplen las siguientes propiedades:
1.
a x  a y  a xy
2.

a 

3.

abx  a x  b x

4.

Si a ≠ 0,

5.

ax
a
Si b ≠ 0, entonces,   x  a x  b  x
b
b

6.

Si a ≠ 1, entonces ax = ay, si y sólo si, x = y

7.

Si x ≠ 0, entonces ax = ay, si y sólo si, a = b

8.

Si x > 0 y a > 1, entonces ax > 1

9.

Si a = 1, entonces ax = 1

10.

Si 0 < a < 1 y x > 0, entonces ax < 1

11.

ax < ay para a > 1

12.

ax = ay para a = 1

13.

ax > ay para 0 < a < 1

x

y

 a xy

ax
1
 a x  y  y x
y
a
a
x

Si x < y, se tiene:

Larepresentación gráfica de la función definida por y = ax si a > 1 y a = 1 se muestra en la
(Figura 1). Se debe observar que para x = 0, y = a0 = 1; además, esta función, es creciente en
todo su dominio y es una función biyectiva.
Dr. César Gallegos Mgs.

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Funciones Reales de Variable Real

Matemática

Si 0 < a < 1, la representación gráfica de
y = ax muestra que es una función
decreciente.(Figura 1).
Entre los gráficos de las funciones
x

1
definidas por y = a e y    existe una
a
simetría
interesante
ya
que
x

x

1
1
x
   x a
a
a

(Figura 1) Función y = ax

El gráfico de la función definida por
y = a– x es exactamente igual que el de
y = ax, solo que con el eje de las x en
sentido contrario (Figura 1 a)
Así, para cada a  IR+, a  1, se define:
Función exponencial enbase a
f = { (x, y) : y = ax, a 1, a > 0, x  IR }
que tiene a IR + como imagen y es
creciente si a > 1, y decreciente si
0 < a < 1. Además, es una función
biyectiva y su intersección con el eje de
las y es el punto (0, 1)

(Figura 1 a) Funciones y = ax e y = a– x

El número e: En Matemática y sus aplicaciones existe un número que surge de manera
natural, que se denota por la letra e, con un valoraproximado de 2,7182..., que permite definir
una función de gran utilidad en el estudio de las funciones exponenciales: Función
exponencial en base e = { (x, y) : y = ex , x  R }

4.7.9. Función logarítmica.
Como las funciones exponenciales son biyectivas, ellas tienen inversa. La inversa de la
función exponencial se denota log a , que se lee logaritmo en base a y se define por:
Definición (defunción logarítmica).- Si a > 0 y a  1, la expresión y  log a x , es
equivalente a x = ay.
Así, log a x , es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener x.

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Dr. César Gallegos Mgs.

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Funciones Reales de Variable Real

En la Figura se muestra los gráficos de las funciones exponenciales y sus inversas, las
funciones logarítmicas, para distintos valores de la base.Función y = ax y su función inversa, la función logarítmica y  log a x
Como la función exponencial y la función logarítmica son funciones inversas, se cumple:

 

aloga x  x

loga ax  x

Las dos identidades son importantes en las operaciones con estas funciones; por esto, se
considera el log a x como el exponente necesario en la base a para obtener el valor de x.
La primera identidad...

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