funcion cuadratica

C U R S O : MATEMÁTICA

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº28
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
FUNCIÓN CUADRÁTICA
A la función de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c, siendo a, b, c ∈ lR y a ≠ 0 se le
denomina función cuadrática.
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola, simétrica con respecto a
una recta paralela al eje de las ordenadas. Dicha recta recibe el nombre de eje desimetría.
y

Eje de simetría

f(x) = ax2 + bx + c

parábola

x

EJEMPLOS

1.

¿Cuál de las siguientes opciones representa una función cuadrática?
A)
B)
C)
D)
E)

2.

f(x) = x2 + 5 - (x2 + 2x)
f(t) = -3t + 2t3
1
f(p) = p + 4
2
f(a) = (a + 2) (a - 2) - a2
f(m) = (-2m + 1)2

De las gráficas siguientes ¿cuál(es) de ellas pertenece(n) a una función cuadrática?
I)

II)y

III)

y

y
x

x

A)
B)
C)
D)
E)

Sólo I
Sólo III
Sólo II y III
Todas ellas
Ninguna de ellas

x

FORMAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
2.

FUNCIONES DE LA FORMA

i)

y = x2

y = ax2

(fig. 1)
y

x
y

2i)

y=
x
y

3i)

0
0

1
1

-2 -1
2 1
2

0
0

-2 -1
-4 -1

-2
-2

OBSERVACIONES:

y=

4

1 2
x
2

2

1 2
x (fig. 1)
21
y = - x2
2
x
y

y = x2

2
4

1
1
2

2
2

-2

Fig. 1
x

2

y = -x2 (fig. 2)
x
y

4i)

-2 -1
4 1

y

0
0

1
-1

2
-4

2

-2

x

-2

Fig. 2

(fig. 2)
-4

2
-2

1 2
x
2

-1
1
2

0
0

-

| a | > 1, la gráfica de y = ax2 es más “angosta” que la gráfica de y = x2.
0 < | a | < 1, la gráfica de y = ax2 es más “ancha” que lagráfica de y = x2.
a > 0, la parábola se abre hacia arriba (sentido positivo del eje y).
a < 0, la parábola se abre hacia abajo (sentido negativo del eje y).

Si
Si
Si
Si

1
1
2

y=-

y = -x2

EJEMPLO

En la figura 3, se muestran tres gráficas de funciones cuadráticas.
siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)

y

a>b
|a|=|c|
|b|>|c|¿Cuál(es) de las

y = ax2
y = bx2
x

Sólo I
Sólo I y II
Sólo I y III
Todas ellas
Ninguna de ellas

y = cx2

2

Fig. 3

FUNCIONES DE LA FORMA

y

y = ax2 + c

y = x2 + 2
6
y = x2

La figura 1, muestra las gráficas de y = x2,
y = x2 + 2 e y = x2 - 3 .
2

- Se observa que si la curva corta al eje y, x
se hace 0, y resulta y = c.

y = x2 - 3
x

0

- Si c > 0,la parábola se desplaza c unidades
hacia arriba con respecto al origen.

Fig. 1

-3

- Si c < 0, la parábola se desplaza c unidades
hacia abajo con respecto al origen.
EJEMPLOS

1.

¿Cuál es la función cuadrática cuya representación gráfica es la parábola de la figura 2?
A)

y=

2x2 - 2

B)

y = -x - 4

C)

y=

D)

y = -x2 - 2

E)

2.

y

2

y = -x2 + 2

2x2 + 2
- 2

2

x
Fig. 2

Al desplazar la parábola asociada a la función y = x2 + 2, cinco unidades hacia abajo se
obtiene la función
x2 - 5

A)

y=

B)

y = -x2 + 5

C)

y=

x2 - 3

D)

y=

x2 + 3

E)

Ninguna de las anteriores

3

FUNCIONES DE LA FORMA

Concavidad:

y = ax2 + bx + c

Es la abertura que tiene la parábola.

Si a > 0, la concavidadde la parábola
está orientada hacia arriba.

Si a < 0, la concavidad de la parábola
está orientada hacia abajo.
y

y

x

x

CEROS DE LA FUNCIÓN

Los ceros (o raíces) de la función cuadrática son los valores x1 y x2 para los que y = 0.
y

x1

x2

x

EJEMPLO

Con respecto a la función f(x) = 3x2 + 13x - 10. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I)II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)

Su concavidad está orientada hacia arriba.
El punto de intersección con el eje y es (0, -10).
f(-2) = -24.

Sólo I
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
Todas ellas

4

DISCRIMINANTE

La expresión b2 - 4ac se denomina discriminante, pues determina la naturaleza de las
raíces de la ecuación cuadrática asociada a la función y = ax2 + bx + c
a)...