FUNCION CUADRATICA

FUNCION CUADRATICA

La función cuadrática es un polinomio de segundo (2°) grado de la forma

y = a x2 + b x + c
Donde a
1)

, b , c son números reales, a, nunca puede ser cero ya que se transforma en una función lineal.

El caso más sencillo es:

y

y = x2

x y
0
1
2
3
-3
-2
-1

a =1 b =0 c =0

0
1
4
9
9
4
1

9

4
1
-3

-2

-1

0

x
1

2

3

1

2

3

y
2)

a =2 b =0
x y
0
1
2
3
-3
-2
-1

c=0

18y = 2 x2

0
2
8
18
18
8
2

8

2

x
-3

-2

-1

0

y
3)

a = 1/2 b = 0 c = 0
x
0
1
2
3
-3
-2
-1

y
0
0,5
2
4,5
4,5
2
0,5

y = 1/2 x2

4,5
2
0,5
-3

-2

-1

0

1

x
2

3

Superponiendo los tres gráficos:
Y=2 x
Conclusión:
Y= x

1) Si a es positivo las ramas de la parábola
van hacia arriba.

Y=1/2 x

2) Cuanto mayor sea
parábola.
3) Si

c=b=0

a

más cerrada es la

el vértice es cero y essimétrica con respecto al eje

4)

El caso más sencillo es:

x y
0
1
2
3
-3
-2
-1

0
-1
-4
-9
-9
-4
-1

y

a = -1 b = 0 c = 0
y = -x2

-3

-2

-1

0
-1
-4

-9

-y

1

2

3

x

5)

a = -2 b = 0 c = 0

0
1
2
3
-3
-2
-1

-3

y = -2 x2

x y

-2

-1

0

0
-2
-8
-18
-18
-8
-2

1

2

3

2

3

x

-2

-8

-18

-y
6)

a = -1/2 b = 0

y = -1/2 x2

x y
0
1
2
3
-3
-2
-1

c=0
-3

-2

-1

0

1

x

-0,5

0
-0,5
-2
-4,5-4,5
-2
-0,5

-2
-4,5

-y
Superponiendo los tres gráficos

x

Conclusión:
1) Si a es negativo las ramas de la parábola
van hacia abajo.

y= -1/2 x
y= - x

2) Cuanto más negativo sea
es la parábola.
3) Si

c=b=0

a

el vértice es cero y es

simétrica con respecto al eje -y

y= - 2 x
-y

más cerrada

y
7)

a=1 b=0 c=1
x y
0
1
2
3
-3
-2
-1

y = x2+1

1
2
5
10
10
5
2

10

5
2
1
-3

8)

-2

-1

a = 1 b= 0 c = -1
x y
0
1
2
3
-3
-2
-1

0

x
1

2

3

1

2

3

y

y = x 2- 1

-1
0
3
8
8
3
0

8

3
-3

-2

-1

0

x

-1

9)

a = -1 b = 0 c = 1
x y
0
1
2
3
-3
-2
-1

1
0
-3
-8
-8
-3
0

1

y = -x2 + 1

x
-3

-2

-1

0
-3

-8

-y

1

2

3

a=-1 b=0 c=-1

10)

y = - x2 - 1

x y
0
1
2
3
-3
-2
-1

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

-1

-1
-2
-5
-10
-10
-5
-2

-2
-5

-10

-y
Conclusión
Independientemente del valorde

a

A este valor de

el valor de

c

c

me desplaza la parábola sobre el eje

y.

se lo llama coordenada al origen

CALCULO DEL EJE DE SIMETRIA
Se lo calcula mediante la fórmula:
Se lo suele llamar X del vértice
Con este valor (

Xv

Xv), remplazando en la ecuación original, se calcula el valor de y que corresponde al vértice (yv)

EJEMPLOS:

y
1)

a)

Ramas hacia arriba

b) Coordenada al origen(C=1)
c)

1
Yv = 0,75

d)

x
-1

Xv= -1/2

0

2)

-2

a) Ramas hacia arriba

-1

0

1

2
x

-1

b) Coordenada al origen
c)

-4

d)
-y

RAICES DE LA FUNCION CUADRATICA
Se denominan raíces de la función cuadrática, a los puntos donde la curva corta al eje X. Se los denomina

X1 ; X2

y se los calcula según la siguiente fórmula:

a) Si los valores dentro del término radical dan como resultado cero.La curva toca al eje X en un punto que es
justamente el eje de simetría.
y
q

x
q

b)

Si los términos dentro del radical dan un resultado positivo, la curva corta al eje X en dos puntos.
y
q

p

q
p

q

x
q

c) Si los terminos dentro del radical dan un número negativo, la curva no corta al eje X, y se dice que las raices
son imaginarias.
y
q

x
q

EJERCICIOS DE APLICACIÓNy
y = 3 x2

1)
a)ramas
b) CO =

3

c) XV =
2

d) YV =
e) X1,2 =
X1=

1
X2=
x

f) Para facilitar el gráfico

-1

0

1

x=1 → y= 3

2)
a) ramas
-3

b) CO =
c) XV =-

-2

-1

0
-1

d) YV =
-2

e) X1,2 =
X1 =

;

X2 =

-3

f) Para facilitar el gráfico
x=1

→

y = -3

-4

1

2

3

3)
12
a) ramas
b) CO =
c) XV =
d) YV =
6

e) X1,2 =

X1=

X2=
1
0

1

2

3

4

5

6

-1

-4

FORMA FACTORIZADA DE LA ECUECION DE 2° GRADOConsiste en cambiar la forma clásica de la ecuación de 2° grado ( y = ax2 + bx + c ), por otra teniendo en cuenta
las raíces de la ecuación, y tendrá la forma:

EJEMPLO:

Comprobación:

FORMA CANONICA DE LA ECUECION DE 2° GRADO
Consiste en cambiar la forma clásica de la ecuación de 2° grado ( y = ax2 + bx + c ), por otra teniendo en cuenta
las coordenadas del vértice de la ecuación (xv ; yv) y tendrá...