funcion racional

Función racional

Función racional de grado 2:


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En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:


donde P y Q son polinomios y x una variable,siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.1

Para analizar una funciónracional debemos tener en cuenta las siguientes características observables:
El dominio está formado por los valores de R excepto los que anulan el denominador.
Para cada valor de x que anula eldenominador tenemos una asíntota vertical: Q(a)=0 x=a es una asíntota vertical de f(x).
Si x=a es una raíz simple de Q(x)=0, las ramas laterales de la asíntota x=a tienen sentidos distintos, unahacia + y la otra a  -. Si x=a es una raíz doble, ambas ramas van o hacia + o hacia -.
Si el grado de P(x) es una unidad mayor que el grado de Q(x) existe una asíntota oblicua, la misma, tanto six como si x 
Si P(x) y Q(x) tienen el mismo grado, hay una asíntota horizontal en y=m/n siendo m y n los coeficientes  respectivos de mayor grado de P(x) y Q(x).
Si el grado de P(x) es menor que el de Q(x),hay una asíntota horizontal en y=0.
Podemos encontrar puntos singulares y puntos de inflexión.
 
 

Obsérvese que no es necesario analizar los intervalos de crecimiento y decrecimiento a travésdel signo de la derivada, ya que al disponer de las regiones, las asíntotas y los puntos de máximo, mínimo y de inflexión, estos se deducen fácilmente: 
x
()
()
()
f(x)
CRECEDECRECE
CRECE
Los intervalos de concavidad y convexidad también se deducen fácilmente a partir de los elementos obtenidos.
x
()
(-1,0)
(0,1)
(1,)
f(x)
CÓNCAVA
CONVEXA
CÓNCAVA
CONVEXAObsérvese cómo la curvatura cóncava o convexa cambia en el punto de inflexión o en los de discontinuidad.

Ejemplo analizado 1:
Analizar y representar la función f(x)=x3/(x2-1)
a)...