Funciones 1

Funciones
por John Allen Paulos

El concepto de función es muy importante en matemáticas, pues representa de una
manera formal la idea de poner en correspondencia una cantidad con otra. El mundo
está lleno de cosas que dependen de, son función de o están asociadas a otras cosas
(de hecho, se podría argumentar que el mundo consiste sólo en tales relaciones), y
nos enfrentamos al problema deestablecer una notación útil. Para esta dependencia
matemática. Los siguientes ejemplos sirven para ilustrar una notación corriente. Las
gráficas y las tablas nos proporcionan otras maneras de indicar estas relaciones.
Consideremos un pequeño taller que se dedica a fabricar sillas. Sus costos son
80000 ptas. (para gastos de equipos, pongamos por caso) y 3000 ptas. Por silla
fabricada. Así la relaciónentre el costo total, T, y el número de sillas fabricadas, x,
viene dada por fórmula T = 3000x + 80000. Si queremos recalcar que T depende de
x, decimos que T es función de x y denotamos simbólicamente esta asociación por
T = f(x). Si se fabrican 10 sillas, el costo es 110 000 ptas; si se fabrican 22, el costo
sube hasta 146 000 ptas. La función f es la regla que asocia 110 000 a 10 y 146 000
a 22,lo cual se indica escribiendo f(10) = 110 000 y f(22) = 146 000. ¿Cuánto es
f(37)?
La temperatura Celsius C se puede obtener a partir de la temperatura Fahrenheit F
restando 32 a ésta y multiplicando la diferencia por 5/9. En forma de ecuación
tenemos C 

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F  32 .

Así, unos fríos 41° Fahrenheit se convierten en unos

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igualmente fríos 5° Celsius, mientras que unos suaves 86° Fahrenheit setraducen en
otros igualmente suaves 30° Centígrados. Si sustituimos la temperatura Fahrenheit
en esta fórmula podemos encontrar siempre la temperatura Celsius correspondiente.
Como antes, si lo que queremos es recalcar que C depende de F, diremos que C es
función de F y denotaremos esta relación por C = h(F). (Las gráficas de esta función
y la anterior son líneas rectas). La función h es la reglaque asocia 5 a 41 y 30 a 86,
y esta correspondencia se expresa simbólicamente escribiendo h(41) = 5 y
h(86) = 30. ¿Cuánto es h(59)?
O imagine que usted es un usurero que presta 100 ptas. a alguien y le dice que la
cantidad que le adeuda aumentará en un 50% cada semana. Revisando las cuentas
con sus socios, usted entiende que la cantidad, D, que le debe su amigo al cabo de n
semanas es igual a 100* (1,5) n , esto es, D  100(1,5) n . Está claro que D es una
función de n, cosa que indicamos por D = g(n) (o mediante la gráfica de la función,
una curva que crece exponencialmente). Está claro que g(1) = 150, g(2) = 225 y
g(3) = 337.50. (Si usted es benévolo y sólo añade los intereses a intervalos
semanales, la gráfica consistirá en una sucesión de escalones crecientes
exponencialmente).Gráfica de la cantidad debida, D, como
función exponencial del tiempo de
préstamo, n, D.

Gráfica de cantidad debida si entre dos
incrementos semanales los intereses
permanecen constantes.

(4,506.25)

(4,506.25)

(3,337.50)

(3,337.50)
(2,225)

(2,225)

(1,150)

(1,150)
(0,100)

(0,100)

O considere el siguiente ejemplo extraído de la física. Desde un tejado de 80 metros
de altura sobre el suelo, selanza una bola verticalmente hacia arriba con una
velocidad inicial de 20 metros por segundo. Confíe en la palabra de Newton y
acepte que la altura A de la bola sobre el nivel del suelo viene dada por la fórmula
A  5t 2  20t  80, donde t es el número de segundos transcurridos desde el
instante en que se lanzó la bola. Como la altura depende del tiempo, A es función de
t y se escribe A = s(t).Si sustituimos t = 0 en la fórmula, confirmamos que en el
instante inicial A = 80. Dos segundos más tarde, t = 2, encontramos por sustitución
en la misma fórmula que A = 100. Por tanto s(0) = 80 y s(2)=100. ¿Cuánto es s(5)?
¿Por qué es menor que s(2)?
Las funciones h, g y s anteriores son funciones lineal, exponencial y cuadrática,
respectivamente, mientras que p(x) = 3tan(2 x) y r(x)= 7 x 5 ...