Matematica 1 funciones
Dpto. de Matemáticas Para Ingeniería
Matemática I (FBTMI01)
Trimestre 2012-13_1
7:00 - 8:30 a.m.
Parcial I
1. Sea f (x ) =
x2
x4 −3
, determina el valor de f
( 3 )+ f( 6 ) .
Solución:
f
( 3 )+ f ( 6 ) = 9 −3 3 + 366− 3 = 12 + 336 = 12 + 112 = 15
22
Puntaje: 2 puntos: corregida buena o mala
2 x si x < −2
3 si x = −2
2. Dada la función f definida por f (x) =
2
si − 1 < x < 2
2 − x
− cos x si x ≥ π
a) Grafica la función f.
b) Determina el dominio y el rango de la función f.
7π
c) Halla f f .
2
d) Con ayuda de lagráfica determina analíticamente la preimagen de −
e) Grafica la función g definida por g ( x) = − f ( x) − 1 .
Solución:
a)
b) Dom f = (−∞ , − 2] ∪ (−1 , 2) ∪ [π , + ∞ ) y
Rg f = (−2 , 2] ∪ {3}
3
2
7π
c) f f =
2
d) f ( x) = −
7π
f − cos = f (0) = 2
2
3
3
3
7
⇒ 2 − x2 = − ⇒ x2 = 2 + ⇒ x2 = ⇒ x =
2
2
2
2
h( x ) = − f ( x )
e)
7
(porque −1 < x < 2)
2
g ( x) = − f ( x) − 1
Puntaje: 7 puntos: 2 puntos cada una de las partes a) y e), y 1 punto cada una de las partes b), c) y
d).
3. Dada g ( x) =
1− x − 2
(
ln x 2 − 4
)
determina el dominiode g.
Solución:
{
Dom g = x ∈ R / 1 − x − 2 ≥ 0
y
x2 − 4 > 0
y
}
x2 − 4 ≠ 1
(*)
1 − x − 2 ≥ 0 ⇔ x − 2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x − 2 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3
x 2 − 4 > 0 ⇔ x 2 > 4 ⇔ x > 2 ⇔ x < −2 ó
x2 − 4 =1 ⇔x2 = 5 ⇔ x = 5 ⇔ x = − 5
(
) ( 5 , 3]
Dom g = 2 , 5 ∪
ó
x>2
x= 5
(**)
Puntaje: 4 puntos: 1 punto dar (*), 2 puntos trabajar las condiciones y 1 dar (**)
4. Sean g ( x ) = ln x y
f ( x) = e x.
a) Determina el dominio de la función
f
.
g
b) Halla el valor de x para el cual f (g ( x) ) = g ( f ( x) ) .
2
Solución:
a)
Dom
f
= Dom f ∩ Dom g − {x ∈ R / g ( x) = 0} = R ∩ R + − {x ∈ R /ln x = 0} = R + − {1}
g
f (g ( x) ) = f (ln x ) = e ln x = x
b)
( )
1
x
g ( f ( x) ) = g e x = ln e x = ln e x =
2
2
Por lo tanto,
f (g ( x) ) = g ( f ( x ) ) ⇔
x=
x
⇒ x 2...
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