Funciones Compleja

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
Revisión de operaciones y propiedades de los números complejos.

1- Demostrar:
z1  z 2  z1  z 2

Re( z ) 

zz 2

z1  z 2  z1  z 2 z1 . z 2  z1 . z 2

Im( z ) 

zz 2
2

z.z  z

 z1  z  2

 z1    z2

2- Demostrar la desigualdad triangular.

z1  z 2  z 1  z 2

3- Demostrar que: arg z1.z2 = arg z1 + arg z2

4-Encontrar arg (z) si:

z

2 1 i 3

z

i  2  2i

z



3 i



6

5- Encontrar las raíces. Representar cartesianamente. (2i)1/2 ; (-i)1/3 ; (8i)1/6

6- Obtener la representación gráfica de los complejos que satisfacen las siguientes relaciones: a) z  2  i  1 b) 2 z  3  4 e) Im z  1 f) z  0

c) Im z  1 d) z  4  z

g) 0  arg z   / 4 h) 0  z  z0  Definir si los conjuntos son abiertos, cerrados, conexos. Encontrar la frontera.

Funciones de una variable compleja 1- Encontrar el conjunto de definición de las siguientes funciones.

f ( z) 
f ( z) 

1 2 z 1 1
1 z
2

f ( z) 

z z z

2- Aplicando la definición de límite, demostrar:
z  2i

lim 2 x  iy 2  4i

3- Escribir la parte real e imaginaria de:

f ( z)  z3  z  14- Estudiar la derivada dw/dz según la definición, de las siguientes funciones, para todos los puntos de z.

f ( z)  z 2

f ( z)  z

2

5- Demostrar que f(z) = z , no es derivable en ningún punto z, según la definición de df/dz.

6- Comprobar que cada una de las siguientes funciones es entera (analítica en todos los puntos del plano). a) f ( z)  3x  y  i(3 y  x) b) f(z) =senx.coshy + i cosx.senhy c) f ( z )  e y .eix d) f ( z )  ( z 2  2)e xeiy

Resolución: b) u(x,y) = sen x.cosh y v(x,y) = cos x.senh y (contínua y también sus derivadas) (contínua y también sus derivadas)

ux = cosh y.cos x = vy = cos x.cosh y uy = sen x.senh y = -vx = sen x.senh y c) f ( z)  e y eix  eiz  e y (cos x  isenx) u(x,y) = e-y cos x v(x,y) = e-y sen x (contínua y también susderivadas) (contínua y también sus derivadas)

ux = -e-y sen x = vy = -e-y sen x uy = -e-y cos x = -vx = -e-y cos x 7- Demostrar porqué cada una de las siguientes funciones no es analítica en punto alguno. a) f(z) = xy + iy b) f(z) = eyeix Resolución: a) u(x,y) = xy v(x,y) = y ux = y uy = x vy = 1 vx = 0 (contínua y también sus derivadas) (contínua y también sus derivadas)

ux = vy  y = 1 uy= -vx  x = 0 Las condiciones de C.R., se verifican en z = 0 + i1 , y la condición que establece que una función es analítica dice que debe existir la derivada en z0 y en un entorno de z0. b) f ( z)  e y eix  e y (cos x  isenx) u(x,y) = ey cos x v(x,y) = ey sen x ux = -ey sen x uy = ey cos x (contínua y también sus derivadas) (contínua y también sus derivadas) vy = ey sen x vx = ey cos x

ux= vy  x = 0  2n  1  uy = -vx  x     2 

n  0,1,2,.....

No se verifican las condiciones de C.R. para ningún punto z0 ni en su entorno.

8- Para cada uno de los siguientes casos, determinar los puntos singulares de la función, especificar porqué la función es analítica en todo punto, excepto en los singulares. a) f ( z ) 

2z  1 z ( z 2  1)
z3  i z 2  3z  2

b) f ( z) 

c) f ( z )  ( z  2)1 ( z 2  2 z  2)1 9- Demostrar que u(x,y) es armónica en cierto dominio y encontrar la armónica conjugada v(x,y). a) u(x,y) = 2x(1-y) b) u(x,y) = 2x - x3 + 3xy2 c) u(x,y) = senh x.sen y d) u ( x, y ) 

y x  y2
2

10- Conocida u(x,y), encontrar la correspondiente armónica conjugada v(x,y). Determinar la función w = f(z). Encontrar w’=df(z)/dz. a) u(x,y) = x2- y2 b) u(x,y) = y3 - 3x2y c) u(x,y) = x3 - 3xy2 - 2x2 +2y2 d) u(x,y) = 4x3 + y4 e) u(x,y) = 4y2 - 2x3 f) u(x,y) = exy Integrales de funciones complejas. 1- Evaluar

 /4
a)
0

 e dt
it

e b) 
0



 zt

dt

(Re z  0)

c) d(e )/dt

it

Resolución:

 /4
a)
0

it  e dt 

 /4
0

 (cos t  isent )dt 


 /4


0

cos tdt  i

 /4
0

...