Funciones crecientes

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
DEFINICION 1: Se dice que una función y = f(x) es creciente en un intervalo si para cada par de valores x1 y x2 con x1 < x2 pertenecientes a dicho intervalo, se verifica que: f(x1) < f(x2)

y y = f(x)

y y = f(x)

x x1 x2 x1 x2

x

DEFINICION 2: Se dice que una función y = f(x) es decreciente en un intervalo si para cada par de valores x1 y x2 con x1f(x2)

y

y

X
X1 X2 X1 X2

x

TEOREMA: Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b): 1º) Si f ´(x) > 0 para toda x en (a,b), entonces f es creciente en [a,b].

2º) Si f ´(x) < 0 para toda x en (a,b), entonces f es decreciente en [a,b].

DEMOSTRACION: Sean x1 y x2 dos números cualesquiera en [a,b] tales que x1 < x2.Entonces f es continua en [x1,x2] y diferenciable en (x1,x2). Por el teorema del valor medio resulta que existe un número c en (x1,x2) tal que:

f ´(c ) = f(x2) – f(x1) x2 – x1
Como x1 < x2, entonces x2 – x1 > 0. También f ´(c ) > 0 por hipótesis. Por lo tanto f(x2) – f(x1) > 0, es decir: f(x2) > f(x1), o sea f(x1) < f(x2) entonces la función es creciente en [ a,b] ya que x1 y x2 son dos númeroscualesquiera de [a,b].

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA DETERMINAR EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCION Sea f una función continua en todos los puntos del intervalo abierto (a,b) que contiene al número c, y supongamos que f ´ existe en todos los puntos de (a,b), excepto posiblemente en c: 1º) Si f ´(x) > 0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que tiene a c como punto extremosderecho, y si f ´(x) < 0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que tiene a c como su punto extremo izquierdo, entonces f tiene u n valor máximo relativo en c. 2º) Si f ´(x) < 0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que tiene a c como punto extremos derecho, y si f ´(x) > 0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que tiene a c como su punto extremoizquierdo, entonces f tiene u n valor mínimo relativo en c. y
f ´(x) = 0 f ´(x) > 0

y

f ´(x) < 0
f ´(x) < 0 a c f ´(x) = 0 b a

f ´(x) > 0

c b f ´(x) = 0

DEMOSTRACION: demostración de 1º Sea (a,c) el intervalo que tiene a c como su punto extremo derecho, para el cual f ´(x) > 0 para toda x en el intervalo. Resulta por el teorema anterior (1) que f es creciente en (a,c). Sea (c,b) elintervalo que tiene a c como punto extremo izquierdo, para el cual f

´(x) < 0 para toda x dentro del intervalo. Por el teorema anterior (2) f es decreciente en (c,b) . Como f es creciente en (a,c) resulta que si x1 está en ese intervalo y es distinto de c, f(x1) < f(c ). Análogamente, como f es decreciente en (c,b) resulta que si x2 está en dicho intervalo y x2 es distinto de c, entonces f(c ) >f(x2). Por lo tanto, por definición de máximo relativo se verifica que f tiene un máximo relativo en x = c. El criterio de la primera derivada para extremos relativos establece esencialmente que si f es continua en c y f ´(x) cambia de signo de positivo a negativo cuando x crece hacia el número c, entonces f tiene un valor máximo relativo en c y si f ´(x) cambia su signo de negativo a positivocuando x crece hacia c, entonces f tiene un mínimo relativo en c. En resumen, para determinar los extremos relativos de una función y = f(x) (máximos y mínimos relativos) se sigue los siguientes pasos: a) Se calcula la primera derivada de la función b) Se iguala a cero la primera derivada ecuación que resulta, las raíces de denominan valores críticos y representan posibles máximos y/o mínimosrelativos de c) Si x = c es un valor crítico, entonces: Si f ‘(c - δ) < 0 f ‘( c) = 0 f ‘(c + δ) > 0 Si f ‘(c - δ) > 0 f ‘( c) = 0 f ‘(c + δ) < 0   la función tiene un mínimo relativo    la función tiene un máximo relativo  y se resuelve la esta ecuación se las abscisas de los la función.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA DETERMINAR EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCION Sea c un valor crítico...