Funciones de n variables

Derivadas parciales de función de n variables.

Las derivadas parciales en función de n variables es la derivada respecto a cada una de
esas variables manteniendo las otras como constantes.

El concepto de derivada parcial se puede extender de forma natural a función de (n)
variables. Siendo función de (n) variables 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑡, 𝑠, … … … 𝑛). (Villalba, La
Derivada Parcial Es Facil ManualAutodidactico, págs. 83-86)

Si se quiere hallar la derivada parcial solamente habrá que fijares ene el subíndice de
la función para saber que es necesario derivar en el orden que se quiera en este caso dos
veces respecto de x una respecto de y, otras dos respecto de t y por ultimo una vez respecto
de s, (Zxxytts). (Villalba, Introducción al análisis matemático II, págs. 26-40)

Funciones de nvariables

Una función de n variables; es una función f: 𝑅 𝑛

𝑅, en donde R es el

Conjunto de numeros reales, que se representa muchas veces con la siguiente notación:
𝑦 = 𝑓(𝑋1, … … . 𝑋𝑛)

O también con notación vectorial siendo la siguiente:

𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 ′ = (x1, … … … Xn)E 𝑅 𝑛

Si tenemos 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), sabemos que las derivadas parciales de la función respecto de
las dos variables independientesson, en general, funciones a su vez de las mismas
variables. Esto es:

𝜕𝑧
= 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
𝜕𝑧
= 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦

Siendo las derivadas parciales funciones de las mismas variables, estas funciones
pueden derivarse nuevamente respecto de x y de y y les llamamos derivadas parciales
de n variables o de segundo orden. Hay que hacer notar que ahora tendremos que la
primera derivada parcial respecto de x puede serderivada parcialmente respecto de y
también respecto de x. De igual manera, la primera derivada parcial respecto de y, puede
ser derivada parcialmente respecto a esa misma variable y también respecto de y. De
manera que las segundas derivadas, o derivadas de n variables, pueden ser estas cuatro
derivadas parciales:
𝜕 2𝑦
= 𝑓𝑥𝑥
𝑑𝑥 2

𝜕 2𝑧
= 𝑓𝑦𝑦
𝜕𝑦 2

𝜕2 𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦

= 𝑓𝑥𝑦

𝜕 2𝑧
= 𝑓𝑦𝑥
𝜕𝑦𝜕𝑥

Puesto queestas cuatro derivadas parciales segundas pueden ser funciones de x y de
y, es claro que pueden derivarse nuevamente para obtener las derivadas de tercer orden y
así sucesivamente hasta el orden n..

Resulta natural si el orden en que realizamos la derivación afecta un resultado.
Supongamos que derivamos respecto 𝑧 = 𝑓(𝑥𝑦) respecto de x y luego y luego derivamos
el resultado respecto de y, paraobtener la derivada “cruzada” 𝑓(𝑥𝑦). Ahora supongamos
que derivamos 𝑧 = 𝑓(𝑥𝑦) respecto de y y esta derivada le volvemos a derivar respecto
de x parea obtener 𝑓𝑥𝑦.

El teorema de Young afirma que si 𝑧 = 𝑓(𝑥𝑦) y f es continua en un punto P (x,y)y las
derivadas parciales 𝑓𝑥 , 𝑓𝑦, 𝑓𝑥𝑦, 𝑓𝑦𝑥 y están definidas y son continuas en el punto P y en
cierta vecindad de este punto, entonces se cumple que: 𝑓𝑥𝑦 =𝑓𝑦𝑥
Ejemplo:
Supongamos, las derivadas parciales de primer orden son
𝑓𝑥 = 5𝑥 4 𝑦 3 + y
𝑓𝑦 = 3𝑥 5 𝑦 2 +x
Las cuatro derivadas parciales en función de n variables son:
𝜕2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝜕2 𝑧
𝜕𝑦 2

= 𝑓𝑥𝑥 = 20𝑥 3 𝑦 3
= 𝑓𝑦𝑦= 6𝑥 5 𝑦

𝜕2 𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕2 𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥

= 𝑓𝑥𝑦=15𝑥 4 𝑦 2 + 1
= 𝑓𝑦𝑥=15𝑥 4 𝑦 2 + 1

Se cumple el teorema de Young 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥

EL LAGRANGIANO Y SUS APLICACIONES EN LA ECONOMÍA.
El método de lagrange en economía

Esla forma de maximizar la utilidad pese a limitaciones de recursos, como el tiempo
y el dinero. El método lagrangiano utiliza una técnica proveniente del cálculo para medir
de modo matemático la forma en que los consumidores pueden lograr satisfacción
máxima y los negocios pueden maximizar el beneficio (o minimizar los costos) con los
límites dados.

Importancia

Los consumidores y negocios sonactores racionales que se esfuerzan por maximizar
su utilidad. En el lado del consumidor, esto significa obtener el nivel más alto de
satisfacción por los bienes y servicios consumidos. Para los negocios, la utilidad máxima
significa maximizar el beneficio, las personas y empresas tienen necesidades ilimitadas,
pero sólo existen recursos finitos para satisfacer esas necesidades. Los...