Funciones Trigonom Tricas Inversas 2015I

Cálculo Integral
UNIVERSIDAD YACAMBÚ
FACULTAD DE INGENIERÍA
CARRERA-PROGRAMA: INGENIERÍA INDUSTRIAL
DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS BÁSICOS

Marzo 2015

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Elaborado por: Nelis Lucena

Cálculo Integral
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
a. Si una función es continua y estrictamente creciente (o decreciente) en un intervalo, entonces
posee función inversa la cual también es continua y estrictamentecreciente (o decreciente).
b. Las funciones trigonométricas son periódicas por lo que la correspondencia entre la variable
independiente y la dependiente no es "uno a uno".
De aquí se tiene que la inversa de una función trigonométrica no es una función, es una relación.
Sin embargo, si se restringe el dominio de una función trigonométrica se establece una relación biunívoca y
la inversa de la funcióntrigonométrica sí es una función.
Función seno inverso
Al considerar la gráfica de la función seno:

Se observa que en varios intervalos, por ejemplo:

la función seno es continua y estrictamente creciente, por lo que podría escogerse alguno de ellos
para definir la función inversa de la función seno.
Usualmente se toma el intervalo

La función

. Luego, se define la función seno como:

asídefinida es continua y estrictamente creciente en el intervalo

que existe una única función, definida en el intervalo
función, denotada arcsen, se define como sigue:

por lo

, llamada función seno inverso. Esta

Se tiene entonces que

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Elaborado por: Nelis Lucena

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Luego,

es el único número para el cual

.

Ejemplos:

La representación gráfica de la función seno y de la funciónarcoseno es la siguiente:

Derivada de la función seno inverso
Como
aplicando el teorema de la derivada de una función inversa se tiene que:

Entonces
Pues

Luego:

En general
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Ejemplos:

Ejercicio:
Determine la derivada con respecto de x de las siguientes funciones
f ( x ) = 2 arcSen ( x − 1)

Función coseno inverso
Al igual que la función seno, lafunción coseno es continua y estrictamente decreciente en varios
intervalos por ejemplo: , por lo
cual debe restringirse su dominio de tal forma
que posea función inversa.
Sea entonces la función

tal que:

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La función así definida es continua y estrictamente decreciente en el intervalo
, por lo que
posee función inversa. Esta recibe el nombre dearcocoseno, (o función coseno inverso), y se denota
.
Se define de la siguiente forma:
Se tiene que
Luego,
es el único número con

para el que

Ejemplos:

La representación gráfica de la función coseno y la de la función arcocoseno es la siguiente:

Derivada de la función coseno inverso
Como
aplicando el teorema de la derivada de la función inversa se tiene que:

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Entonces
pues
Luego:
En general
Ejemplos:

Ejercicio:
Determine la derivada con respecto de x de las siguientes funciones
f ( x ) = 3arcCos

x
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Función tangente inversa
Igual que en los dos casos anteriores, vamos a restringir el dominio de la función tangente al
intervalo
, en el que es continua y estrictamente creciente, por lo que posee función inversa.
Luego se define la funcióntangente como:

Se define la función tangente inversa, también llamada arcotangente, y denotada

, como:

Se tiene que

Luego,
es el único número

con

para el que
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Ejemplos:

Además:

La representación gráfica de la función tangente y la de la función arcotangente es la
siguiente:

Derivada de la función arcotangente
Como
aplicando el teorema de laderivada de la función inversa se tiene que:

Entonces

por lo que:
En general

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Ejemplos

Ejercicio:
Determine las derivadas con respecto de x de las siguientes funciones

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Función cotangente inversa
Para definir la función inversa de la función cotangente, vamos a restringir el dominio de ésta al...