Funciones variables de una variable real

FUNCIONES VARIABLES DE VARIABLE REAL
1. Función real de variable real
"Una función real de variable real es una aplicación f de un subconjunto no vacío D de R en R es decir
f:D c R-----R
x-----f(x)=y"
Nota: Para tener una función hay que tener dominio recorrido y ley
Nota: Se llaman funciones reales porque su recorrido es R y de variable real porque el dominio pertenece a RNota: x es la antiimagen de y por f; x es la invariable
y es la imagen de x por f; y es la variable
Nota: f(x)=y es la ley de la función dada a través de una fórmula matemática y como viene despejada la variable se dice que está escrita de forma explícita y que esta expresión depende de x ya que los valores de y se obtienen dando valores a x
Nota: D es el dominio de la función f y sedenota Dom (f)=Df=D
2. Funciones elementales
1. Función constante:
f:R-----R
x-----f(x)=c;donde c perteneciente a R se llama constante para
todo x perteneciente a R; Df=R Im f:c
Observación:
Las gráficas de una función constante son rectas paralelas al eje de las x o abscisas
Por lo tanto solo se necesita un punto para visualizarlo
2. Función identidad en R:()
: R-----Rx----- (x)=x; para todo x perteneciente a R; D =R Im =R
Nota: La gráfica de una función identidad es la bisectriz del primer y tercer cuadrante
3. Función lineal
f:R-----R
x-----f(x)= a.x; para todo a perteneciente a R* y para todo x
perteneciente a R Df=R Im f=R
Casos particulares:
Si a = 1 entonces se obtiene la función identidad en R y su gráfica es la bisectriz de elprimer y tercer cuadrante
Si a = -1 entonces la gráfica será la bisectriz del segundo y cuarto
4. Función valor absoluto en R
f:R-----R
x-----f(x)=/x/ si x es positivo = x
si x es 0 = 0
si x es negativo = x
La gráfica en valor absoluto nunca puede ir por debajo del eje de las x o abscisas
Nota: relación entre la gráfica de la función identidad y la función valor absoluto en RLa gráfica de la función valor absoluto se obtiene a partir de la función identidad subiendo la parte que se encuentra por debajo del eje de las x haciéndolo simétrico a la parte que se encuentra por encima del eje X
5. Función afín
f:R----R
x------f(x)= ax + b; a y b pertenecientes a R* Para todo x perteneciente a R
Dm f: R Im f: R
Observación: La gráfica de las funciones afinesson gráficas que no pasan por el origen de coordenadas, la constante b indica por que punto corta al eje de las y, por encima o por debajo del eje x
Nota: Relación entre las gráficas de la función afín y la función lineal: Una función afin siempre tiene asociada una función lineal haciendo b igual a 0
6. Función polinómica
f: R-----R
x-----f(x)=
Dm f: R Im f: R
7. Funciónracional
f: R - { }------R
x ----------------------f(x)=
Dm f: R - { }
Im f: R
8. Función "Signo de x"
Signo: R-----R
x-----f(x)=
Dm(Signo): R
Im f: {-1, 0, 1}
9. Función "Parte entera de x"
Ent(x)=[]:R-----R
x-----[x] Se toma la parte entera de x
Dm[]: R Im f: Z
Observación: es un tipo de función escalonada
Operaciones algebraicas con funciones reales devariable real
Suma de funciones reales de variable real
Sean f: D1cR--------R g: D2cR--------R
x--------f(x) x--------g(x)
funciones reales de variable real:
Si D1 intersecado con D2 es distinto al conjunto vacío entonces se puede definir la suma como:
f+g: D1 intersecado D2cR-------R
x-------(f+g)(x)= f(x)+g(x) para todo
x perteneciente a D1 D2
Propiedades:
Conmutativa:(f+g)(x)= (g+f)(x)
Asociativa: [f(x)+g(x)]+h(x) = f(x)+ [g(x)+h(x)]
Elemento neutro: Para la suma de funciones es la constante 0
0: R----R
x----0(x)=0 para todo x perteneciente a R
f(x)+0(x)= 0(x)+f(x)= f(x) para todo f(x) perteneciente a F(R,R)
Todo elemento de F(R,R) tiene simétrico que se llama opuesto:
Opuesto de f(x)= -f(x) ya que f(x)+(-f(x))= 0(x)
Por verificar...