Funciones



Funciones
El objetivo principal del cálculo es el análisis y solución de problemas involucrados con el cambio (movimiento) y contenidos como las áreas y volúmenes, problemas que se encuentran continuamente en nuestro entorno que es un mundo cambiante ya que encontramos cuerpos en movimiento y diferentes fenómenos naturales, por esta razón el cálculo es la herramienta cuantitativa másimportante en la ciencia y la tecnología.
Las aplicaciones del cálculo involucran relaciones entre variables (números reales), los cuales describen ya sea movimientos o cambios, estas relaciones generalmente están definidas por fórmulas que expresan una variable en función de la(s) otra(s).
Ejemplo 1
El volumen de una esfera se expresa mediante la fórmula o ecuación

Las variables son entonces, (volumen)y (radio) ya que es una constante recuerde que es un número real irracional (
Se expresa entonces a como función de , es decir, el volumen depende del radio de la esfera, en la estructura de funciones se escribe también

La cual se lee es igual a cuatro tercios por por al cubo”. Se tiene entonces que para cada valor del radio tendremos el volumen de la esfera, así por ejemplo, para




Esclaro entonces que pues no podemos tomar un radio negativo, decimos entonces que está en el intervalo y a este conjunto se le llama el dominio de la función.
A las variable se le denomina variable independiente y a la variable se denomina variable dependiente puesto que se tienen dos variables las relacionamos como pares coordenados de la siguiente forma , de tal manera que para nuestro casotenemos los puntos o pares ordenados ,, , .
Se puede tratar de visualizar esta situación en el plano cartesiano, con la variable independiente sobre el eje horizontal y la variable dependiente sobre el eje vertical

La grafica que se presenta une los puntos obtenidos con un trazo continuo puesto que los números reales son densos, es decir, se podría calcular el volumen para radios dados pornúmeros reales comprendidos entre los enteros positivos.

Ejemplo 2
Para una rama de árbol se encuentra que el peso está dado por donde es el tiempo
En este caso tenemos las variables


Mientras que 2 y 0.432 son constantes, es claro entonces que el peso depende del tiempo por tanto se puede escribir

En este caso es la variable independiente mientras que será la variable dependiente. Porotra parte , una pregunta interesante es, ¿qué valores puede tomar ? o mejor ¿en qué intervalo encontramos a ? Es claro que debe estar en un intervalo finito puesto que el crecimiento del árbol junto a sus ramas es de un tiempo finito.
Supongamos entonces que este árbol al cual pertenece la rama tiene un periodo de formación de 5 años, tenemos entonces que el intervalo para es , vemos que encero es abierto, pues tomar cero, es negar la existencia de la rama, si calculamos el peso para los años del intervalo, se tiene

0
1
2
3
4
5

0
2
2.70
3.21
3.64
4.00

En una gráfica el comportamiento se visualiza así

En la tabulación o consecución de los pares ordenados se tomó en el tiempo cero, que no estaba incluido en el dominio, sin embargo si observa en la gráfica se deja el puntoindicado como una especie de hueco vacío que indicará que este par no pertenece a la gráfica.
Los ejemplos anteriores muestran que las funciones a las cuales hacemos referencia son reglas o fórmulas que relacionan dos variables o dos números reales uno de ellos dependiendo del otro. Definimos entonces una función en forma general.
Definición
Una función es una regla de correspondencia mediante la cual acada número real , se asigna un único número real con definido como que corresponde al valor de .
La expresión se lee o .
Al conjunto se le denomina dominio de la función y al conjunto de números se le denomina rango, recorrido o imagen de la función.

En el plano cartesiano se tiene como representación

Es claro que nuestra gráfica supone un dominio subconjunto de números reales...