LA PARABOLA
Páginas: 22 (5345 palabras)
Publicado: 3 de febrero de 2016
SECCIONES CONICAS
Las secciones cónicas o simplemente cónicas son curvas que se obtienen de la intersección de planos con la superficie del cono circular recto, denominadas: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola.
Fueron los Griegos cerca del año 350 quienes estudiaron con más pasión este tema, uno de los primeros fue Apolonio de Perga (262-190 a. C.) quien dio estos nombres, en épocasrecientes 1609 Kepler comprobó que la órbita de los planetas alrededor del sol es elíptica, uno de cuyos focos es el sol y el radio vector que va del sol a un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.
En la actualidad con la ayuda de la computadora puede lograrse una vista de cada una de estas curvas al intersecar un cono circular recto con un plano con diferente ángulo de inclinación, talcomo se ilustra a continuación.
LA PARÁBOLA
Comenzamos el estudio de las cónicas con la parábola la cual tiene una definición y a partir de la cual se deducen ecuaciones llamadas canónicas con las cuales será fácil identificarla y diferenciarla de las otras cónicas.
Definición la parábola es el lugar geométrico dado por los puntos del plano tales que ladistancia a un punto fijo es igual a la distancia a una recta fija, el punto fijo no puede estar sobre la recta de la que se habla.
El punto fijo se llama foco y la recta fija se denomina directriz, llamemos F al foco y l la directriz. La recta sobre la cual está F y perpendicular a l se denomina eje de la parábola, el punto medio sobre el eje entre el foco y la directriz corresponde al vértice de laparábola, consideramos la parábola con Vértice V( 0 , 0 ), foco F ( 0 , p ) y directriz l con ecuación .
Aplicando la definición tenemos,
Según la definición de distancia entre dos puntos del plano tenemos,
Elevamos al cuadrado en ambos miembros de la igualdad eliminando así los radicales y se obtiene,
Desarrollando los binomios,
Simplificando los términos semejantes obtenemos
Lo cualconfirma nuestra afirmación anterior.
La ecuación anterior se obtuvo tomando los puntos sobre la parte superior al eje X, es decir, cuando , ¿Qué pasa si se hace el análisis para puntos consideramos entonces el vértice sobre el foco en y la directriz la recta .
Aplicando nuevamente la definición
Siguiendo el proceso similar al caso anterior se llega a
De lo cual concluimos que para laparábola abre hacia la parte inferior del eje X.
Del análisis anterior se obtiene el siguiente teorema
TEOREMA 1
La ecuación de la parábola con eje Y, vértice en el origen (0, 0) es
El foco es el punto y la directriz la recta con ecuación , la parábola abre hacia arriba si p>0 y hacia abajo si p<0.
Si el eje de la parábola es el eje X el vértice el origen ( 0 , 0 ), el foco ( p , 0 ) setiene la ecuación
La directriz en este caso tiene por ecuación , si p>0 la parábola abre hacia la derecha y si p<0 la parábola abre hacia la izquierda.
OTRAS COMPONENTES
AB = Lado recto, la longitud del lado recto es como en el foco reemplazando en la ecuación , se obtiene de la cual y por tanto el lado recto es
CD = Cuerda, recta que une dos puntos de la parábola.
NM = Cuerda focal, rectaque une dos puntos de la parábola y pasa por el foco.
PF = radio focal o radio vector
Ejemplo
Una parábola cuyo vértice está en el origen tiene como directriz la recta , halle la ecuación de la parábola, coordenadas del foco, trazar la gráfica y halle la longitud del lado recto.
Solución
Como el vértice de la parábola es el origen ( 0 , 0 ) y la directriz la recta , significa esto que el focotiene coordenadas ( 0 , 2 ) es decir, el eje de la parábola es el eje Y, la ecuación es
En este caso , es decir la ecuación toma la forma
Además la parábola abre hacia la parte superior del eje X la gráfica es entonces
La longitud del lado recto es
Ejemplo
Para la parábola que se muestra en la figura hallar la ecuación, coordenadas del foco, ecuación de la directriz y longitud del...
Las secciones cónicas o simplemente cónicas son curvas que se obtienen de la intersección de planos con la superficie del cono circular recto, denominadas: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola.
Fueron los Griegos cerca del año 350 quienes estudiaron con más pasión este tema, uno de los primeros fue Apolonio de Perga (262-190 a. C.) quien dio estos nombres, en épocasrecientes 1609 Kepler comprobó que la órbita de los planetas alrededor del sol es elíptica, uno de cuyos focos es el sol y el radio vector que va del sol a un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.
En la actualidad con la ayuda de la computadora puede lograrse una vista de cada una de estas curvas al intersecar un cono circular recto con un plano con diferente ángulo de inclinación, talcomo se ilustra a continuación.
LA PARÁBOLA
Comenzamos el estudio de las cónicas con la parábola la cual tiene una definición y a partir de la cual se deducen ecuaciones llamadas canónicas con las cuales será fácil identificarla y diferenciarla de las otras cónicas.
Definición la parábola es el lugar geométrico dado por los puntos del plano tales que ladistancia a un punto fijo es igual a la distancia a una recta fija, el punto fijo no puede estar sobre la recta de la que se habla.
El punto fijo se llama foco y la recta fija se denomina directriz, llamemos F al foco y l la directriz. La recta sobre la cual está F y perpendicular a l se denomina eje de la parábola, el punto medio sobre el eje entre el foco y la directriz corresponde al vértice de laparábola, consideramos la parábola con Vértice V( 0 , 0 ), foco F ( 0 , p ) y directriz l con ecuación .
Aplicando la definición tenemos,
Según la definición de distancia entre dos puntos del plano tenemos,
Elevamos al cuadrado en ambos miembros de la igualdad eliminando así los radicales y se obtiene,
Desarrollando los binomios,
Simplificando los términos semejantes obtenemos
Lo cualconfirma nuestra afirmación anterior.
La ecuación anterior se obtuvo tomando los puntos sobre la parte superior al eje X, es decir, cuando , ¿Qué pasa si se hace el análisis para puntos consideramos entonces el vértice sobre el foco en y la directriz la recta .
Aplicando nuevamente la definición
Siguiendo el proceso similar al caso anterior se llega a
De lo cual concluimos que para laparábola abre hacia la parte inferior del eje X.
Del análisis anterior se obtiene el siguiente teorema
TEOREMA 1
La ecuación de la parábola con eje Y, vértice en el origen (0, 0) es
El foco es el punto y la directriz la recta con ecuación , la parábola abre hacia arriba si p>0 y hacia abajo si p<0.
Si el eje de la parábola es el eje X el vértice el origen ( 0 , 0 ), el foco ( p , 0 ) setiene la ecuación
La directriz en este caso tiene por ecuación , si p>0 la parábola abre hacia la derecha y si p<0 la parábola abre hacia la izquierda.
OTRAS COMPONENTES
AB = Lado recto, la longitud del lado recto es como en el foco reemplazando en la ecuación , se obtiene de la cual y por tanto el lado recto es
CD = Cuerda, recta que une dos puntos de la parábola.
NM = Cuerda focal, rectaque une dos puntos de la parábola y pasa por el foco.
PF = radio focal o radio vector
Ejemplo
Una parábola cuyo vértice está en el origen tiene como directriz la recta , halle la ecuación de la parábola, coordenadas del foco, trazar la gráfica y halle la longitud del lado recto.
Solución
Como el vértice de la parábola es el origen ( 0 , 0 ) y la directriz la recta , significa esto que el focotiene coordenadas ( 0 , 2 ) es decir, el eje de la parábola es el eje Y, la ecuación es
En este caso , es decir la ecuación toma la forma
Además la parábola abre hacia la parte superior del eje X la gráfica es entonces
La longitud del lado recto es
Ejemplo
Para la parábola que se muestra en la figura hallar la ecuación, coordenadas del foco, ecuación de la directriz y longitud del...
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