G2

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer Semestre 2015
Programa Talento e Inclusi´
on - Ejercicios MAT210E



x2 + 1
−1
1. Determine si la funci´on f (x) =
 x+
1+x

, x<1
, x≥1

es continua en x = 1.

2. Determine valores de a y b tales que las siguientes funciones sean continuas en x = 0.

1


ax + x3 sen


x
f (x) =
b



tan(a sen(x))
x


1


ax + 2x4 sen


x
g(x) =
b



 a tan(b sen(x))
x

, x<0
, x=0
, x>0

, x<0
, x=0
, x>0

3. Considere la funci´on

πx

|x2 − 1| cos



2


x−1
f (x) =
a



x
−
b


−4
 √
x+3−2

, x<1
, x=1
, x>1

determine los valores de a y b tales que f sea continua en x = 1.
4. Considere la funci´on f : R → R definida por

−x + a
, x < −1

b
, x = −1
f (x) =

2
− |1 − x| − 1 , x > −1
a) Pruebe que f es continua en R \ {−1}
b) Encuentre todos los valores de a y b que hagan f continua en R
5. Encontrar los puntos de discontinuidad de la funci´on real
f (x) =

6x2 + x − 2
10x2 + x − 3

¿Es posible redefinir esta funci´on en esos valores para que as´ı ella sea continua?
1

6. Sea f una funci´on definida por f (x) =

sen(x)
x2 − x

a) Encuentre los x ∈ R para loscuales f no est´a definida.
b) ¿Es posible definir la funci´on f en los puntos encontrados en a) de modo que
f sea continua en dichos puntos?
1 + cos(2x)
. Se˜
nale sus puntos de discontinuidad y
3π
−x
2
decida si se trata de discontinuidades esenciales o evitables.
1
8. Indique donde la funci´on f (x) = l´ım
es discontinua.
n→∞ 1 + x2n

7. Considere la funci´on f (x) =

9. Usar el Principio delValor Intermedio para demostrar que los gr´aficos de f (x) = x3
y de g(x) = 1 + (x + 2)2 se cortan y encontrar un intervalo de largo 12 que contenga
la abcisa del punto de corte.
10. Demuestre que la ecuaci´on 5 cos(x) = −x tiene tres soluciones en el intervalo

−π 3π
, 2
2

11. Demuestre que si f es continua en [a, b] tal que a < f (a) y f (b) < b, entonces existe
c ∈ [a, b] tal que f (c) = c.
12.Sea f una funci´on continua en [0, 2] tal que f (0) = f (2). Demuestre que existe
x0 ∈ [0, 1] tal que f (x0 ) = f (x0 + 1).
13. Dada la funci´on


 x(a + 2) − a , x < 1
1−x
f (x) =
√
, x>1

1− x
defina f para x = 1 de modo que la funci´on sea continua en todo R y encuentre el
f (x) − f (1)
valor de a de modo que l´ım
exista.
x→1
x−1

14. Considere la funci´on f : R → R, definida por
 1 3
x −px2
, x≤2


 4
f (x) =
x2 + 3x − 10



, x>2
x+q
Encuentre los valores de las constantes p y q en los reales, de manera que f sea
derivable en x = 2 y determine la funci´on derivada f (x).
15. ¿Es f (x) = |x2 − 4|(x − 2) derivable en x = 2?
16. Calcule las siguientes derivadas por definici´on:
a) f (x), f (x) = cos(x)

b) g (1), g(x) =
2

√
3

1 + x2

2

c) h (1), h(x) = ex

17. Calcule laderivada de las siguientes funciones:
a) f (x) =

x sen(x)
1 + x2

b) g(x) = [tan(cos(2 − x2 ))]5

c) h(x) = e

arctan

1−x
1+x2

18. Suponga que f es una funci´on derivable. Demuestre que la derivada de la funci´on
g(x) = sen(x)f (cos(x)) es una funci´on par.
19. Sea f una funci´on continua tal que f (0) = 5. Determine la derivada de la funci´on
g(x) = xf (x) en x = 0.
20. Calcule h (π) para lafunci´on h definida por h(x) = cos(sen(x))
21. Calcule la derivada de h(x) = (f 2 − f ◦ g)(x) cuando x = 4, si se sabe que:
g (4) = −1 ,

g(4) = 3 ,

f (4) = 2 ,

f (3) = 8 ,

f (4) = 7 ,
n

2

n

22. Sea p(x) = a0 + a1 x + a2 x + · · · + an x . Pruebe que p(x) =
k=0

f (3) = 8

p(k) (0) k
x
k!

23. Sea f (x) = arctan(x). Sabiendo que
f (n+1) (0) + n(n − 1)f (n−1) (0) = 0, ∀n ≥ 1
Halle una f´ormulapara f (n) (0), ∀n ∈ N
24. Sea f (x) = x + sen(x). Si g(x) = f −1 (x), calcule g

π
2

+1

25. Sea f una funci´on derivable e invertible tal que f (x) = x4 + x2 y f (1) =
define g(x) =

15
x
2

+ (f −1 ) (x). Calcule g

1+2x
1−2x

Se

.

1−x
, muestre que f (x) = 0.
x

26. Si f (x) = arcsin(2x − 1) + 2 arctan
27. Si f (x) = arctan

8
15

8
.
15

y g(x) = arctan(2x), ¿es cierto que f (x) = g...