Guía Mate 7 1era parte

Clase 1: Asuntos B´sicos
a
Peter Hummelgens
10 de diciembre de 2006

1.

Soporte de una funci´n.
o

¯
Sea A ⊂ R un conjunto, entonces se obtiene la clausura A de A en R agregando a A
todos sus puntos de acumulaci´n (o puntos l´
o
ımites). As´ A siempre es un conjunto cerrado en
ı ¯
R.
Ejemplo 1.
(0; 1) = (0; 1] = [0; 1) = [0; 1], (−∞; 1) = (−∞; 1], Q = R,
{−1, 0, 3} = {−1, 0,3},

1
| n = 1, 2, 3, · · ·
n

1 1
0, 1, , , · · ·
2 3

=

[−3; 1) ∪ (2, 3) = [−3; 1] ∪ [2; 3]
Sea f : R −→ C continua, entonces el soporte de f es por definici´n
o
sop(f ) := {x ∈ R | f (x) = 0} (siempre un conjunto cerrado).
Por ejemplo:

f(x)
b
a

1

c
x

,

sop(f ) = (−∞; a] ∪ [b; c].

x
g(x)=sen(x)

sop(g) = R.
Un conjunto cerrado y acotado en R se llama uncompacto en R. En las figuras anteriores
f y g no son de soporte compacto, pero

 0;
x < −1



 1 + x; −1 ≤ x ≤ 0
h(x) =
 1 − x; 0 ≤ x ≤ 1




0;
x>1

s´ es de soporte compacto, sop(h) = [−1; 1].
ı

f(x)
1
x+1

1−x

0

−1

1

x

Observe
f es de soporte compacto ⇐⇒ f (x) = 0 fuera de alg´n compacto.
u
2

2.

Espacios vectoriales de funciones.
SeaV el conjunto de todas las funciones f : R −→ C (advertencia: en este curso las

funciones pueden tomar valores complejos en general). Para f, g ∈ V , λ ∈ C definimos f + g,
λf : R −→ C (es decir f + g, λf ∈ V ) por
(f + g)(x) := f (x) + g(x), x ∈ R
(λf )(x) := λf (x), x ∈ R

(1)

(esto es nada nuevo: bachillerato). Con las operaciones (1) V es un espacio vectorial
(complejo) cuyoselementos (vectores) son funciones R → C. Que V es un espacio
vectorial significa que podemos aplicar todas las reglas algebraicas usuales, como
f + g = g + f, f + (g + h) = (f + g) + h := f + g + h (no hace falta poner par´ntesis),
e
λ(f + g) = λf + λg, λ(µf ) = (λµ)f, f + 0 = f (donde 0 es la funci´n R −→ {0}),
o
f − f = 0, · · · etc.
En general trabajaremos con subconjuntos W ⊆ V de funcionescon propiedades
especiales: continuas, diferenciables, integrables,· · · etc. Del algebra lineal tenemos un
criterio f´cil para verificar que W ⊆ V es tambi´n un espacio vectorial bajo las mismas
a
e
operaciones (1):
Para que W ⊆ V sea un espacio vectorial es necesario y suficiente que
f, g ∈ W, λ ∈ C =⇒ f + g, λf ∈ W.

(2)

Decimos entonces que W es un subespacio lineal de V .
Ejemplo2.
(a) C(R) : todas las funciones continuas en R, C k (R) (1 ≤ k < ∞): las funciones k veces
diferenciables con continuidad, C ∞ (R) : las funciones infinitas veces diferenciables
(no hace falta agregar “con continuidad” ya que diferenciable =⇒ continua). Tenemos
entonces los espacios C k (R) (0 ≤ k ≤ ∞), donde C 0 (R) = C(R). Es f´cil verificar (2)
a
con W = C k (R), de modo que C k (R) (0 ≤ k≤ ∞) es un espacio vectorial.
k
(b) C0 (R) (0 ≤ k ≤ ∞): las funciones f ∈ C k (R) con sop(f ) compacto. Es f´cil verificar
a
k
(2)con W = C0 (R), de modo que
k
C0 (R) (0 ≤ k ≤ ∞) es un espacio vectorial.

3

∞
Notaci´n (de L. Schwartz): D(R) = C0 (R), un espacio fundamental para este curso,
o

llamado el espacio de las funciones de prueba.
Ejemplo 3.

∞

(a) L1 (R): lasfunciones f : R −→ C tales que existe

|f (x)|dx. Para
−∞

verificar que L1 (R) es un espacio vectorial observamos primero la desigualdad
triangular
|f (x) + g(x)| ≤ |f (x)| + |g(x)|,
luego
∞

∞
(1)

f, g ∈ L1 (R) =⇒

|(f + g)(x)|dx =
−∞

|f (x) + g(x)|dx
−∞
∞

∞

−∞

−∞
∞

existe ya que existen

∞

|f (x)|dx y
−∞

|g(x)|dx

|f (x)|dx +

≤

|g(x)|dx =⇒ f +g ∈ L1(R). Adem´s, con λ ∈ C,
a

−∞
∞

∞

∞
(1)

−∞

−∞

−∞

|f (x)|dx

|λf (x)|dx = |λ|

|(λf )(x)|dx =

existe =⇒ λf ∈ L1 (R). Con esto verificamos (2) con W = L1 (R). El espacio L1 (R) se
llama el espacio de las funciones absolutamente integrables.
(b) L1 (R): Las funciones f : R −→ C tales que existe
loc

|f (x)|dx para todo compacto
K

K ⊂ R. A este espacio lo...