Guia 7 Sumatorias y Teo del Binomio

´
Gu´ıa 7 Algebra
Facultad de Ingenier´ıa y Ciencias Aplicadas, U. de Los Andes.
Tema: Sumatorias y Teorema del Binomio de Newton.
P1.- Sea q = 1 un n´
umero real y definamos para cada n ∈ IN la cantidad rn = aq n .
Demostrar que:
n
q m − q n+1
0 ≤ m < n.
ri = a
1−q
i=m

P2.- Probar, sin usar inducci´
on, que para todo n ≥ 1:
n+1

k
2

k=2
m

Ind: Recordar que

k2 =

k=0

=

n+2
.
3m(m+1)(2m+1)
6

∀ m ∈ IN .

P3.- Sean k, p, n ∈ IN tales que 0 ≤ k ≤ p ≤ n.
(a) Usando la definici´
on del coeficiente binomial, demostrar que:
n−k
p−k

n
k

=

n
p

p
.
k

(b) Usando la parte anterior, probar que:
n
0

n−1
n
+ ··· +
p−1
p

n
n
+
p
1

n−p
0

= 2p

n
.
p

P4.- Sean n ∈ IN y p, q n´
umeros reales no negativos tales que p + q = 1. Calcular:
n
k=0

n k n−k 2
p q
k .
k

Ind: Notar que k 2 = k(k −1) + k.
P5.- (a) Sea n ≥ 1 un n´
umero natural. Demostrar que para cualquier j ≥ 0 se
cumple que:
n
i+j−1
n+j
=
.
j
j+1
i=1

Ind: Use inducci´
on sobre n.
(b) Concluir de la parte anterior que:
n1

···
n2 =1 n3 =1

nk−1

ni−1

n2

···
ni =1

Ind: Use inducci´
on sobre k.

1

1=
nk =1

n1 + k − 2
k−1

P6.- Ocupando sumas conocidas, encontrar una f´ormula para:
1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + . . . + (n −1)n

∀n≥1

y demostrarla por inducci´
on.
P7.- Demostrar por inducci´
on matem´
atica, los siguientes resultados:
(a) ∀ n ∈ IN :
n

1+
i=1

1
i

(n + 1)(n+1)
.
n!

1+i

=

(b) ∀ n ∈ IN :
n

n
k

k=0

2

2n
.
n

=

(c) ∀ n ∈ IN :
n
k=0

(−1)k nk
1
=
.
(k + 2)(k + 3)
(n + 2)(n + 3)

P8.- Considere (an )n∈IN una progresi´
on aritm´
etica:
(a) Para cada i, j, k ∈ IN defina ai = x, aj = y, ak = z.Probar que:
(j − k)x + (k − i)y + (i − j)z = 0.
(b) Demostrar que:
√

1
1
n
1
√ +√
√ + ······ + √
√ =√
√ .
a0 + a1
a1 + a2
an−1 + an
a0 + an

P9.- Probar, sin hacer uso de inducci´
on, que para cualquier x ∈ IR se tiene que:
n

n

n+1 k
x .
k+1

(1 + x)k =
k=0

k=0

P10.- (a) Demostrar, sin usar inducci´
on que, para todo n ≥ 1, 0 ≤ k ≤ n se tiene:
n
k

≤

nk
.
k!

Deducir, a partir de lo anterior,que:
1
1+
n

n

n

≤

(b) Calcular las siguientes sumas:
m

(b.1)

log 1 +
k=n
n−1

(b.2)
k=1

1
k! (n−k)!

1
k

, donde 0 ≤ n ≤ m.

, donde n ≥ 1.

2

k=0

1
.
k!

P11.- Calcular, en funci´
on de n, el valor de la suma:
n

1
√ .
√
k(k + 1) ( k + 1 + k)

k=1

Ind: Racionalizar el t´ermino general de la suma.
P12.- Sean n ∈ IN y dos n´
umeros q, b ∈ IR \ {1}. Definamos:
S = 1 + (1 + b)q + (1 + b +b2 )q 2 + · · · + (1 + b + b2 + · · · + bn )q n
Escribir S como una suma doble y calc´
ulela.
P13.- Sea p ∈ IN un n´
umero natural fijo. Demostrar por inducci´on que ∀n ∈ IN ∗ :
p! (p + 1)! (p + 2)!
(p + n − 1)!
1 (p + n)!
+
+
+ ··· +
=
.
0!
1!
2!
(n − 1)!
(p + 1) (n − 1)!
Usar la propiedad anterior, para deducir las f´ormulas para calcular las conon

cidas sumas:

n

k2 .

k y
k=1

k=1

Obs: IN ∗= IN \ {0}.
P14.- Se define la funci´
on:

ϕ1 : IR × IR −→ IR
(x0 , x1 ) −→ ϕ1 (x0 , x1 ) = x0 + x1 .
Para cada natural n ≥ 2, se define por recurrencia la funci´on ϕn : IRn+1 −→ IR
por:
ϕn (x0 , . . . , xn ) = ϕn−1 (x0 , . . . , xn−1 ) + ϕn−1 (x1 , . . . , xn ).
en cada x0 , x1 , . . . , xn ∈ IR. Demostrar usando inducci´on que:
n

ϕn (x0 , . . . , xn ) =
k=0

n
xk .
k

P15.- (a) Sean x, y ∈ IR \{0} tales que x = y. Probar, sin usar inducci´on, que para
todo n ≥ 1 natural, se tiene que:
n−1

xn−1−i y i =
i=0

xn − y n
.
x−y

(b) Demostrar por inducci´
on que para cada n ≥ 1 natural, se tiene:
2n
k=n+1

1
=
k

2n
k=1

(−1)k+1
.
k

P16.- Probar, sin usar inducci´
on, que para todo n ≥ 1 natural se cumple que:
n−1

(−1)k
k=0

3

n
k+1

= 1.

P17.- (a) Probar, sin usar inducci´
on, que paratodo n ∈ IN se tiene que:
n

n (−1)k
1
=
.
k k+1
n+1

k=0

(b) Sea n > 0 un n´
umero natural. Se define la suma arm´
onica por:
Hn = 1 +

1 1
1
+ + ··· + =
2 3
n

n
i=1

1
i

Usando la parte (a) e inducci´on, probar que para todo n ∈ IN \ {0} se
tiene que:
n
n (−1)k
= −Hn .
k
k
k=1

Ind: Recordar la identidad de Pascal:
n+1
n
n
=
+
k
k
k−1

1 ≤ k ≤ n.

P18.- Sean n, r ∈ IN naturales tales que 0...