GUIA 7

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS.

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DEFINICION: Si A es un punto en Rn y r es un numero positivo, entonces la
BOLA ABIERTA B ( A; r ) se define como el conjunto de todos los puntos P de Rn
tales que la distancia del punto P al punto A es menor que r, es decir
║ P – A ║ < r.
En R1 una bola abierta corresponde a un intervaloabierto.
(

)

En R2 una bola abierta corresponde al interior de un disco.

En R3 una bola abierta corresponde al interior de una esfera.

DEFINICION: Si A es un punto en Rn y r es un numero positivo, entonces la
BOLA CERRADA B  A; r ] se define como el conjunto de todos los puntos P de
Rn tales que la distancia del punto P al punto A es menor o igual que r, es decir
║ P – A ║ ≤ r.

En R1 una bolacerrada corresponde a un intervalo cerrado.
[

]

En R2 una bola cerrada corresponde al interior de un disco junto con
su frontera.

DANIEL SAENZ C

Página 1

2
En R3 una bola cerrada corresponde al interior de una esfera junto
con su frontera.

DEFINICION. Sea f una función de n – variables la cual esta definida en alguna
bola abierta B ( A ; r ) excepto posiblemente en el punto A mismo.Entonces el
limite de f( P ) cuando P se aproxima a A es L y se escribe

Lim f ( P )  L
x A

si

para cualquier  > 0 , no importando que tan pequeño, existe un  > 0 tal que
║ f( P ) – L ║ ≤ 

siempre que 0 < ║ P – A ║ ≤ .

DEFINICION: Si f es una función de dos variables la cual esta definida en
cualquier disco abierto B ( ( x0 , y0 ) ; r ) excepto posiblemente en el punto ( x0 ,





f x, y  Lsi para cualquier
y0 ) mismo, entonces  x , y Lim
 x0 , y0 
importando que tan pequeño, existe un  > 0 tal que ║ f( x , y
siempre que 0 <

x  x0 2   y  y0 2

 > 0 , no
) – L ║ ≤ 

≤ .

( x0 , y0 , f(x0 , y0 ) )

( x0, y0 , 0 )

DANIEL SAENZ C

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3
PROPIEDADES DE LOS LIMITES EN DOS VARIABLES
Los limites de las funciones en dos variables, cumplen las mismas propiedades
quelos limites de las funciones en una variable. Es decir:
Si L y M son dos números reales y

Lim

 x , y  x0 , y0 

f  x, y   L

Lim

;

 x , y   x 0 , y 0 

g  x, y   M ,

entonces las

siguientes reglas son validas:

 f x, y   g x, y   L  M
 f x, y   g x, y   L  M
b) Regla de la resta:  x , y Lim
 x , y 
 f x, y   g x, y   L  M
c) Regla del producto x , y Lim
 x , y 
k  f x, y   k  L
d) Regla del producto por un escalar  x , y Lim
 x , y 
 f  x, y   L
Lim
  M ;M  0
e) Regla del cociente  x , y   x , y 
g

x
,
y



a) Regla de la suma:  x , y Lim
  x0 , y 0 
0

0

0

0

0

0

f) Regla de la potencia:

0

0

m
n

 f x, y 

Lim

 x , y   x 0 , y 0 

m
n

L

, siempre que

m
n

L

sea un numeroreal.

EJEMPLO: Encontrar los siguientes limites:

 x  xy  3 
Lim  2

 x , y 0,1 x y  5 xy  y 3 




DANIEL SAENZ C

Lim

x  xy  3

 x , y 0,1

Lim

 x , y 0,1

x y  5xy  y 

2

3

0  0 1  3
3

 3
2
0 1  501  1  1

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4

Lim

 x , y  3, 4 

Lim

 x , y 0, 0 

x2  y2 

x 2  xy
x y





Lim

 x , y  0,1

Lim

2

x y
x

x y

 x , y 0, 0 

Lim x

 x , y 0, 0 





 y 2  3 2  4 2  9  16  25  5

xx  y 

 x , y 0 , 0 

Lim

x




x y



x y



x y





0 0 0 0

DANIEL SAENZ C

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5
ACTIVIDAD: ENCONTRAR LOS SIGUIENTES LIMITES.

3x 2  y 2  5
Lim
 x , y 0 , 0  x 2  y 2  2
1 1
Lim   
 x , y  2 , 3  x
y


x 2  2 xy  y 2
Lim
 x , y 1,1
x y2

Lim

 x , y  2 , 2 
x y4

x y4
x y 2

3x 2  y 2  5
x2  y2  2

Lim

 x , y 3,3 

 4x2  y 2  5 
Lim Ln  2

2
 x , y 1,1
 x  y 2 

Lim

Lim

2 x y  4

x y2 x 2 y

 x , y 0 , 0 

x y

x y

 x , y 2 , 0 

xy  y  2 x  2
 x , y 1,1
x 1
x 1
Lim

2x  y  2
2x  y  4

LA PRUEBA DE LAS DOS TRAYECTORIAS PARA LA NO EXISTENCIA DE UN LIMITE....