GUIA Combinatoria

open green
road

Guía Matemática
COMBINATORIA
tutora: Jacky Moreno

.cl

open green
road
En distintas ocasiones se nos ha planteado que ordenemos y/o agrupemos un conjunto de determinados
objetos. Generalmente, esto lo realizamos de tal forma que al ordenarlos o agruparlos una segunda vez
vamos variando la posici´
on de los objetos o los elementos que lo componen, pero ¿cu´antas formas existende ordenar los mismo objetos?, es decir, ¿en qu´e momento empiezo a repetir el orden de estos?
A partir de preguntas como las anteriores es que sale a la luz un tipo especial de proceso de contar.
Este se presenta cuando queremos conocer el n´
umero de formas distintas en que se pueden agrupar y
ordenar un conjunto de elementos bajo ciertas condiciones. A continuaci´on estudiaremos tres manerasdistintas de ordenar un determinado grupo de elementos a trav´es de las permutaciones, los arreglos y las
combinaciones.

1.

Permutaciones (P)

Las permutaciones consisten en ordenar un conjunto de elementos de todas las maneras posibles, de
tal forma que si poseo 8 elementos entonces tengo 8 posiciones para ubicarlos. Por ejemplo, si tengo 3
copas de distintos color y las quiero ubicar en unal´ınea recta sobre un estante, ¿de cu´antas formas lo
puedo realizar? Si hacemos las ordenaciones de forma expl´ıcita llegaremos a los siguientes 6 resultados
posibles:

Si lo resolvemos de manera matem´
atica debemos seguir el siguiente razonamiento: En la primera
posici´on tengo 3 opciones de copas para poner, en la segunda posici´on las opciones se me redujeron en
una unidad ya que una copa ya est´
aocupada en el primer puesto, por lo tanto tengo tan solo 2 opciones,
finalmente en la u
´ltima posici´
on tengo una u
´nica opci´on. De esta forma la cantidad de permutaciones que
puedo realizar con 3 elementos sera:
P3 = 3 · 2 · 1 = 6
En forma general, si tengo un conjunto con n elementos, el n´
umero de permutaciones o formas que
puedo ordenarlos es igual a:
Pn = n · (n − 1) · (n − 2) · (n − 3)· . . . · 2 · 1
Para abreviar este n´
umero se ha adoptado la notaci´on factorial, en donde el factorial de n, se escribe
n! y corresponde a la multiplicaci´
on de los enteros entre 1 y n ´estos incluidos, es decir:
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · (n − 3) · . . . · 2 · 1

2

open green
road
Desaf´ıo 1
Verificar la veracidad de la siguiente afirmaci´on:
0! = 0
Respuesta

El n´
umero de permutacionesposibles para un
conjunto de n elementos es:
Pn = n!

Observaci´
on: Las expresiones trabajadas anteriormente corresponden a situaciones en donde los
elementos no se pueden repetir.

✎ Ejemplo
10.000 personas participaron de un concurso online realizado por la compa˜
n´ıa “Vuela seguro”. Si la empresa sorteaba unos pasajes dobles a Espa˜
na, Inglaterra, Canad´
a, Colombia, Cuba, Jap´on y Egipto,¿de cu´antas
maneras posibles se pueden designar los premios a las 7 personas ganadoras?
Soluci´
on: En este caso nos est´
an pidiendo repartir los 7 destinos de pasajes entre las 7 personas ganadoras, por lo tanto como nos estan pidiendo
combinaciones ordenadas hacemos uso de las permutaciones. Como tenemos 7 ganadores y 7 destinos calculamos la P7 :
Pn = n!
P7 = 7!
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P7= 5.040
Por lo tanto hay 5.040 posibilidades distintas de repartir los 7 destinos
entre los ganadores del concurso online.

✍ Ejercicios

1

Resolver los siguientes ejercicios.
1. Determinar de cuantas formas distintas se pueden colocar 6 cajas de distintos colores apiladas en
una esquina.
2. Un obrero compro 4 tarros de pintura de colores amarillo, blanco, naranjo y verde cada uno. Si tiene
quepintar 4 habitaciones, la pieza matrimonial, el comedor, el lavadero y el ba˜
no, de un color cada
uno. ¿De cu´
antas formas distintas se puede llevar a cabo el trabajo del obrero?

3

open green
road
3. ¿Cu´antos n´
umeros de 5 cifras se pueden formar con los primeros 5 n´
umeros naturales si no se puede
reiterar ning´
un digito?

2.

Arreglos o Variaciones (A)

Los arreglos o variaciones...