GUIA Congruencia

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Guía Matemática
CONGRUENCIA
tutora: Jacky Moreno

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1.

Congruencia

Es probable que en alguna conversaci´
on hayas escuchado frases como “Yo tengo una polera igual a la
tuya”, “Eres igual a tu mam´
a” o “Me quedo igual tu firma” para referirse a que dos cosas son iguales pese
a que no ocupan el mismo lugar en el espacio, sino m´as bien, que comparten lasmimas caracter´ısticas.
Cuando esto sucede estamos haciendo referencia directa a lo que es la congruencia entre dos objetos por
sobre la igualdad que solemos utilizar en nuestras palabras.
La congruencia hace referencia a la coincidencia que existe entre dos figuras geom´etricas en su forma
y en su tama˜
no a pesar de que sus posiciones u orientaciones sean distintas. Tanto la forma como el
tama˜no son caracter´ısticas que est´
an determinadas por los ´angulos y medidas de los lados que pueden
tener las figuras relacionadas. De esta forma, al superponer dos figuras que son congruentes, deber´ıan
calzar perfectamente.
En general la congruencia entre dos figuras A y B se representa por medio del s´ımbolo ∼
= de la siguiente
∼
forma A = B. En base a lo anterior, podemos decir lo siguiente:Cualquier par de puntos distintos son congruentes entre s´ı.
A∼
=B∼
=C

Dos segmentos son congruentes s´ı y s´olo s´ı tienen la misma medida.
AB ∼
= CD

Dos ´angulos son congruentes s´ı y s´
olo s´ı tienen la misma abertura.
ABC ∼
= DOE

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Dos figura son congruentes s´ı y s´
olo si tienen la misma medida de los lados y ´angulos correspondientes.
ABCD ∼
=ABCD

2.

Congruencia detri´
angulos

Como vimos anteriormente para que dos figuras sean congruentes todos sus elementos deben coincidir
de manera exacta. En el caso de los tri´
angulos, estos ser´an congruentes si es que existe una correspondencia
entre sus v´ertices, lados y ´
angulos.
Dos tri´
angulos son congruentes s´ı y s´olo s´ı sus
angulos miden lo mismo y sus lados miden lo
´
mismo.
As´ı, si tenemos que

ABC ∼=

DEF entonces se cumplen lo siguiente:

Con respecto a los v´ertices tenemos los siguientes pares de elementos que son hom´ologos o correspondientes entre s´ı:
A con D
B con E
C con F
Con respecto a los lados de los tri´
angulos tenemos las siguientes pares hom´ologos, es decir, con igual
medida:
AB ∼
= DE
BC ∼
= EF
CA ∼
= FD

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Con respecto a los ´
angulos interiores de lostri´angulos tenemos los siguientes pares de elementos
hom´ologos entre s´ı:
∼ F DE
CAB =
ABC ∼
= DEF
BCA ∼
= EF D

2.1.

Criterios de congruencia de tri´
angulos

A continuaci´
on enunciaremos una serie de criterios de congruencia de tri´angulos que nos sirven para
establecer que dos tri´
angulos son congruentes sin la necesidad de comprobar el cumplimiento de todas las
condiciones antes dadas porla definici´
on.
2.1.1.

Criterio lado-lado-lado

Euclides en su libro los elementos enunci´o el siguiente criterio:
Si dos tri´
angulos tienen los dos lados iguales a dos
lados respectivamente, y tienen tambi´en la base
igual a la base, entonces tambi´en tendr´an los
angulos iguales a aquellos que est´an contenidos por
´
los lados iguales.
Lo anterior descrito corresponde al criterio decongruencia conocido como lado-lado-lado o abreviado
como L.L.L el cual nos dice que si los tres lados de un tri´angulo son respectivamente iguales a los tres
lados de otro, entonces los dos tri´
angulos son congruentes.
AB ∼
= DE
BC ∼
= EF
CA ∼
= FD

2.1.2.

Criterio lado-´
angulo-lado

Euclides en su libro los elementos enunci´o el siguiente criterio:
Si dos tri´
angulos tienen dos lados iguales a doslados respectivamente, y tienen iguales los ´angulos
contenidos por los lados iguales, entonces tambi´en
tienen la base igual a la base, el tri´angulo igual al
tri´
angulo, y los ´angulos restantes iguales a los
angulos restantes respectivamente, a saber aquellos
´
opuestos a los lados iguales.

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Lo anterior descrito corresponde al criterio de congruencia conocido como...