GUIA Triangulo Rectangulo

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road

Guía Matemática
´
´
TRIANGULO
RECTANGULO
tutora: Jacky Moreno

.cl

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1.

Tri´
angulo Rect´
angulo

Un tri´angulo se denomina rect´
angulo si uno de sus ´angulos mide 90° y por ende los otros dos ´
angulos
son agudos. Los lados que forman el ´
angulo recto se denominan catetos y el lado opuesto a este ´angulo se
denomina hipotenusa.

2.

Teorema de Pit´
agorasComo enuncio Euclides en su “Libro I de los elementos de Euclides”:
En los tri´
angulos rect´angulos el cuadrado sobre el
lado opuesto al ´angulo recto es igual a la suma de
los cuadrados sobre los lados que comprenden el
´angulo recto.

Esta proposici´
on enunciada hace m´
as de 400 a˜
nos, es lo que conocemos hoy en d´ıa como el Teorema
de Pit´agoras. En lenguaje actual, es equivalente a decir queel cuadrado de la medida de la hipotenusa de
un tri´angulo rect´
angulo es igual a la suma de la medida de los catetos al cuadrado..
S´ımbolicamente, si a y b corresponden a los catetos de un tri´angulo rect´angulo y c a su hipotenusa,
entonces el Teorema de Pit´
agoras nos dice lo siguiente:
c2 = a2 + b2

2

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Este teorema matem´
atico posee m´
as de 370 demostraciones. Acontinuaci´on analizaremos le demostraci´on que realiz´
o Euclides:
Esta demostraci´
on se basa en la idea de que si dentro de un paralelogramo se traza un tri´
angulo
con la misma base, entonces el ´
area de ese tri´angulo es igual a la mitad del ´area del paralelogramo.
´
2·A

AED

´ ABCD
=A

Dicho esto, lo que buscamos demostrar es que el ´area de los cuadrados dibujados sobre los catetos
sea igual al´
area del cuadrado dibujado sobre la hipotenusa. Para esto, en una primera instancia,
trazaremos los segmentos CH y GB:

Observando la figura podemos decir los tri´angulos formados
que:

3

ABG y

ACH son congruentes ya

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AB ∼
= AH
AG ∼
= AC

(Por ser los lados del cuadrado ABIH)

(Por ser los lados del cuadrado AGF C)
∼
BAG = HAC (Por ser ambos la suma de un ´angulo recto y
ABG∼
=

ACH

BAC)

(Por criterio de congruencia L-A-L)

Como vemos los tri´
angulos formados son congruentes, pero adem´as tienen otra particularidad:
• El tri´
angulo ABG esta trazado sobre el paralelogramo AGF C, por lo tanto el doble del ´
area
de ese tri´
angulo corresponde al ´area del cuadrado.
´
2·A

ABG

´ AGF C
=A

• El tri´
angulo AHC esta trazado sobre el paralelogramo AHJK, por lo tanto eldoble del ´
area
de ese tri´
angulo corresponde al ´area del rect´angulo.
´
2·A

AHC

´ AHJK
=A

Y como los tri´
angulos ABG y ACH son congruentes, entonces el ´area del cuadrado AGF C es
equivalente al ´area del rect´
angulo AHJK.
Ahora, para terminar esta demostraci´
on, debemos razonar de la misma manera pero para los tri´
angulo
ADB y ICB formados por la uni´
on de los puntos A con D y C con Irespectivamente.

Los tri´angulos

ADB y

ICB son congruentes ya que:

BD ∼
= BC (Por ser los lados del cuadrado BDEC)
BA ∼
= BI (Por ser los lados del cuadrado ABIH)
DBA ∼
= CBI (Por ser ambos la suma de un ´angulo recto y
ADB ∼
=

ICB

(Por criterio de congruencia L-A-L)

4

CBA)

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El tri´angulo ADB est´
a trazado sobre el paralelogramo BDEC y el tri´angulo
sobre el paralelogramoBIJK, por lo tanto tienen ´areas equivalentes:
´
2·A
´
2·A

ADB
ICB

ICB est´a trazado

´ BDEC
=A
´ BIJK
=A

´ BDEC = A
´ BIJK
A
Por u
´ltimo tenemos las siguientes relaciones:
´ AGF C = A
´ AHJK
A
´ BDEC = A
´ BIJK
A
´ AGF C + A
´ BDEC = A
´ AHJK + A
´ BIJK
A
´ AGF C + A
´ BDEC = A
´ AHIB
A
As´ı, si el lado del cuadrado AGF C es b, el lado del cuadrado BDEC es a y el lado del cuadrado
AHIB es c,entonces:
a2 + b2 = c2

Desaf´ıo 1
A partir de la siguiente figura, demuestre el Teorema de Pit´agoras.

Respuesta

2.1.

Tr´ıos Pitag´
oricos

Los tr´ıos pitag´
oricos corresponden a tres n´
umeros naturales que satisfacen el teorema de Pit´
agoras,
por lo tanto pueden servir como las medidas de los lados de un tri´angulo rect´angulo.
Los tr´ıos pitag´
oricos son infinitos, pero el m´as...