Guia De Calculo Diferencial

Tomado del Libro: Cálculo Diferencial. Jorge Saenz
Elaborado el material: Profesora María Morales

UNIDAD I. INTRODUCCION AL SISTEMA DE NÚMEROS REALES. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES.

El sistema de números reales consiste en un conjunto de elementos denominados números reales y de dos operaciones conocidas como adición y multiplicación. El conjunto de los números reales se representa por .La operación de la adición se representa por + y la multiplicación por *. Si a y b son elementos del conjunto R1, designa la suma de a y b, y el producto. La operación de la sustracción se define como la ecuación:

donde –b representa el negativo de b, tal que . La operación de la división se define como la ecuación

donde representa el reciproco de b, tal que .
El sistema de los númerosreales se puede describir completamente por un conjunto de axiomas. (Se enunciaran más adelante)

Definición.
Si
a si y sólo si es positivo.
b si y sólo si es positivo.

Definición.
Si
a si y sólo si
b si y sólo si
Los enunciados se conocen como desigualdades ()


Lcda. María Morales
Ejercicios Propuestos.
1 Probar la proposición dada.
a
b

UNIDAD I. INECUACIONES Y DESIGUALDADES

Teorema 1.a si y sólo si es positivo.
b si y sólo si es negativo.
Un numero x que se encuentre entre a y b si y . Esto puede escribirse como desigualdad continua:

Teorema 2.
a Si , entonces
b Si entonces

Teorema 3.
Si y si y , entonces .

Teorema 4.
Supóngase que
a Si , entonces.
b Si y entonces
c Si y , entonces

Teorema 5.
Supóngase que
a Si , entonces
b Si y , entonces
c Si y ,entonces

Lcda. María Morales
Teorema 6.
Si y , entonces .
Identifiquemos a con el eje, y se llamará a recta numérica o recta de los números reales.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
El conjunto de todos los números que cumplen la desigualdad continua se denomina intervalo abierto y se denota porpor lo tanto,

El intervalo cerrado de y es el intervalojunto con los puntos extremos y y se simboliza por Así,

El intervalo semi-abierto por la izquierda es el intervalo abierto junto con el punto extremo derecho b. Esto es,

El intervalo semi-abierto por la derecha, de la misma manera lo denotamos por :

Axiomas de la adición.
A1. . (clausura)
A2. , para todo . (Ley asociativa)
A3. , , que denotaremos por tal que
(Inverso aditivo)
A5.( Ley conmutativa)

Definición. Diferencia
Axiomas de la multiplicación.
M1. . (clausura)
M2., . (Ley asociativa)
M3. , tal que y , . (Elemento identidad)

Lcda. María Morales
M4. , , , tal que
(Inverso multiplicación)
M5. , ( Ley conmutativa)

Definición. Cociente

Axioma Distributiva.
D1. , . (Ley distributiva)
1 Ejemplo. Probar que ,
Solución:
, por (A3)
, multiplicando por aen ambos lados
, por D1
sumando en ambos lados
, por A2
por A4
por A3
NOTA: los intervalos se emplean para representar conjuntos de soluciones de desigualdades en una variable.

1 Ejemplo. Resolver la siguiente ecuación.

Solución:

La ecuación dada se puede resolver de forma directa, es decir, nos preguntamos dos números que al multiplicarlos den como resultado 8, esto son, 4*2=8, y luegoque signo debería tener cada uno para que al sumarlo o restarlo dependiendo de los signos den como resultado el – 2, esto es, – 4 + 2 = – 2. Por lo tanto,



Lcda. María Morales




Resolución de desigualdades.

1 Resolver la desigualdad: .
Solución:

, sumando 15 enambos lados
, cancelando términos iguales
, restando 2x en ambos lados
, cancelando términos iguales
, signos diferentes se restan y prevalece el signo del mayor
, multiplicando en ambos lados por
, simplificando

Luego, el conjunto solución de la...