guia de continuidad y limites laterales

Guía de materia y ejercicios
Asignatura : Cálculo Diferencial



Continuidad en un punto:
Una función f se dice continua en c, si se verifican las siguientes condiciones:
1) está definida.2) existe.
3)

Continuidad en un intervalo abierto:
Una función f se dice continua en un intervalo abierto , si lo es para todos los puntos de ese intervalo.
Se dice que f es discontinua en csi f está definida en un intervalo abierto que contiene a c (excepto quizás c) y f no es continua en c. Las discontinuidades son de dos categorías: reparables y no reparables.
Se dice que unadiscontinuidad en es reparable si puede hacerse continua redefiniéndola en .
Ejemplos:
1) es continua en
2) no está definida en , luego es discontinua en y continua en todo el resto de su dominio.Para reparar esta discontinuidad se redefine de la siguiente manera:

Para discutir la continuidad en un intervalo cerrado necesitamos los límites laterales (límite por la derecha o límite por laizquierda).
Cuando se habla de límite por la derecha, quiere decir que x tiende a c por valores mayores que c, solamente. Esto se denota por: .
Análogamente, el límite por la izquierda significa que xtiende a c por valores menores que c. Esto se denota por: .
Ejemplos:
1) no existe

2) En el caso de la función parte entera, se tiene que:


La existencia de un límite.
Si f es unafunción y c, L son números reales, entonces: si y sólo si:
y

Continuidad en un intervalo cerrado.
Si f está definida en un intervalo cerrado , es continua en y y , se dice que f es continua en .Ejemplo: Consideremos la continuidad de:

Sabemos que los polinomios y son continuos para todo x real. Luego para ver si g es continua en el intervalo que es su dominio, basta estudiar elcomportamiento de g en x=2. Vemos que:
y
En consecuencia, como los dos límites laterales coinciden, se concluye que:

Es decir, g es también continua en x=2 y por lo tanto en el todo el...