Guia de ecuacones diferenciales

Cuarta Guía de Ecuaciones Diferenciales 1. Determine si los siguientes conjuntos de funciones son linealmente independientes en el intervalo − ∞ < x < +∞
4x −4 x a) y1 ( x ) = e , y 2 ( x ) = e , y3 ( x ) = 1 x b) y1 ( x ) = e , y 2 ( x ) = x + 1, y 3 ( x ) = x

c) y1 ( x) = 5, y2 ( x) = cos 2 ( x), y3 ( x) = sen 2 ( x)
x d) y1 ( x ) = e , y 2 ( x ) = cos( x ), y 3 ( x ) = sen ( x ) 2 e) y1( x ) = x + x + 1, y 2 ( x) = x + 1, y 3 ( x ) = 1

f) y1(x)= x 2 + x +1,y2 (x)= x+1,y3 (x)= x 2 2. Sabemos que si y 1 e y 2 son soluciones de la ecuación homogénea y ' ' + p ( x ) y ' + q ( x ) y =0 , entonces
− p ( x )dx W [ y 1 ( x ), y 2 ( x )] = Ce ∫

donde W [ y1 ( x ), y 2 ( x )] es el Wronskiano de las funciones y 1 e y 2 . Usando esta igualdad, muestre que si y 1 es una soluciónconocida de la ecuación y ' ' + p ( x ) y ' + q ( x ) y = 0 , entonces:

y 2 ( x ) = y1 ( x ) ∫

1 y1 ( x )
2

− p ( x ) dx e ∫ dx

3. Determina la solución general de las siguientes ecuacionesde segundo orden, encontrando una de las soluciones por simple inspección a) b) c) d) e) f) g)
x 2 y ' ' + xy ' − y = 0 xy ' ' − ( x + 1 ) y ' + y = 0 xy ' ' + 2 y ' = 0 y ' ' − 3 tg ( x ) y ' = 0 xy' ' + 2 ( x + 1 ) y ' + 2 y = 0 x 2 y ' ' − 4 xy '+ 6 y = 0 y ' ' + 2 xy ´ + y = 0

4. Determina la solución general de las siguientes ecuaciones a) b) c) d) e)
( D − 1)( D + 1) y = 0 ( xD + 1)( D− 2 ) y = 0

( D 3 + D 2 − D − 1) y = 0 ( D − 4 )( xD − 1) y = 0

( xD − 4)( xD − 1) y = 0

5. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales a) b) c) d) e)
y ' '+ y = 0 y ' '− y = 0 y ' '−2 y '+ y = 0 y ' '+ 3 y '+ 2 y = 0 y ' ' − 2 y '+ 2 y = 0

f) y ' '− y '+

1 y=0 4

6. Mediante el método de variación de parámetros, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales a) b) c)d) e)
y ' ' + y = sec( x ) y ' ' + y = sec( x ) tg ( x )

y ' '− 2 y ' = xe 2 x y ' '− y = xe 2 x x 2 y ' ' − 3 xy ' + 4 y = x 4
−1 / 2 −1 / 2

cos( x), y 2 = x sen( x)} es una base del espacio...