Guia Ecuaciones exactas y factor integrante
Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes
Gilberto Ochoa
Noviembre 2011
1. Determine si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas o no, en casoafirmativo resuelva
(a) (3x2 − 2xy + 2)dx + (6y 2 − x2 + 3)dy = 0
= − ax+by
bx+cy
(b)
dy
dx
(c)
1
x
(d)
dy
dx =
x
1
x2
+
−
y
x2 +y 2
dx + yey +
x
x2 +y 2
− ax−by
bx−cy
(e) (e sin y − 2y sinx)dx + (ex cos y + 2 cos x)dy = 0
2
2
(f) (2y sin x cos x − y + 2y 2 exy )dx = (x − sin2 x − 4xyexy )dy
(g) (yexy cos 2x − 2exy sin 2x + 2x)dx + (xexy cos 2x − 3)dy = 0
(h) (x ln y + xy)dx + (y ln x+ xy)dy = 0
dy
(i) x dx
= 2xex − y + 6x2
(j)
xdx
(x2 +y 2 )3/2
+
ydy
(x2 +y 2 )3/2
=0
dy
= 4x3 + 4xy
(k) (1 − 2x2 − 2y) dx
(l) x(2x2 + y 2 ) + y(x2 + 2y 2 )y ′ = 0
(m)
x
x2 +y 2
√
(n) (2x+
+
1
x
x2 +y 2
x2 y )dx
(o) x2 y 3 −
dx
1
1+9x2 dy
√ 2 2 +
(p) xdx+ydy
x +y
1
y
dx +
=
x2 +y 2
xy 2 dy
+
y
x2 +y 2
√
+
1
y
−
x
y2
dy = 0
+ x3 y 2 = 0
xdy−ydx
x2
=0
(q) {n cos(nx + my) − m sin (mx + ny)} dx + {m cos (nx + my) − n sin mx + ny} dy = 0
(r) (sin y + y sin x + x1 )dx + (x cos y − cos x + y1 ) = 0
(s) (tan x − sin x sin y)dx + (cos x cos y)dy = 0
2. Determine losvalores de k para los cuales las siguientes ecuaciones diferenciales puedan ser exactas.
(a) (6xy 3 + cos y)dx + (kx2 y2 − x|siny)dy = 0
(b) (2x − y sin xy + ky 4 )dx − (20xy 3 + x sin xy)dy = 0
(c)(xy 2 + kx2 y)dx + x2 (x + y)dy = 0
(d) (ye2xy + x)dx + kxe2xy dy = 0
3. Muestre que las siguientes ecuaciones diferenciales no son exactas, pero al multiplicar por el factor
indicado, se vuelvenecuaciones exactas
(a)
sin y
y
− 2e−x sin x dx +
cos y+2e−x cos x
y
(b) x2 y 3 + x(1 + y 2 )y ′ = 0, µ(x, y) =
dy = 0, µ(x, y) = yex
1
xy 3
1
(c) −y 2 dx + (x2 + xy)dy = 0, µ(x, y) +
1
x2 y
4.Encuentre el factor integrante y resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales
(a) (1 − x2 y)dx + x2 (y − x)dy = 0
(b) (x4 ln x − 2xy 3 )dx + (3x2 y 2 )dy = 0
(c) (2xy 2 − 3y 3 )dx + (7 − 3xy 2...
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