GUIA Proporciones En La Circunferencia
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Guía Matemática
PROPORCIONES EN LA
CIRCUNFERENCIA
tutora: Jacky Moreno
.cl
open green
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1.
Proporcionalidad entre las cuerdas de una circunferencia
En la gu´ıa anteriorestudiamos los elementos que se pod´ıan trazar en una circunferencia. A continuaci´
on
estudiaremos algunas relaciones de proporcionalidad que se dan entre estos elementos:
Si trazamos dos cuerdas AB y CDen el interior de una circunferencia de
centro O, el producto de los segmentos determinados en cada cuerda por el
punto de intersecci´
on E entre ellas, es constante.
AE · EB = CE · ED
Estarelaci´on surge a partir de la proporcionalidad que existe entre los segmentos definidos en cada
cuerda por su punto de intersecci´
on. De esta manera, si unimos los puntos A con C y D con B se forman
dostri´angulos que son semejantes entre s´ı:
AEC ∼
= BED
(Por ser ´
angulos opuestos por el v´ertice)
CAB ∼
= BDC
(Por ser ´
angulos que subtienden el mismo arco CB)
AEC ∼
(Por el criterio de semejanzaA-A)
BED
A partir de esto, como los tri´
angulos son semejantes, sus lados hom´ologos
son proporcionales, en particular:
AE
EC
=
DE
EB
AE · EB = EC · DE
✎ Ejemplo
En la circunferencia de centro Ode la figura, DE = 8, EB = 4 y AB = 20.
¿Cu´anto mide EC?
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Soluci´
on: Para determinar el segmento EC hacemos uso de la proporcionalidad entre cuerdas, de esta
manera:
DE · EC = AE· EB
8 · EC = 16 · 4
16 · 4
EC =
8
EC = 8
2.
Proporcionalidad entre las secantes de una circunferencia
Si desde un punto F exterior a una circunferencia se trazan dos
secantes a esta que cortan enlos puntos D, A, B y C, el producto
entre cada secante y su segmento exterior a la circunferencia es
constante.
FD · FA = FB · FC
Esta relaci´on surge a partir de la proporcionalidad que existe entrelos segmentos definidos por los
puntos de intersecci´
on entre las secantes y la circunferencia. De esta manera, si unimos los puntos A con
B y D con C se forman dos tri´
angulos que son...
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