Inecuacion

1. Inecuaciones de primer grado con una incógnita
Definiciones
Una desigualdad es cualquier expresión en la que se utilice alguno de los siguientes símbolos: < (menor que), > (mayor que) ≤ (menor o igual que), ≥ (mayor o igual que) Por ejemplo: 2π (siete es mayor que pi) x≤5 (x es menor o igual que 5) Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. Aquí estudiamos sólo las deprimer grado.

Una inecuación de primer grado es una inecuación en la que sus dos miembros son polinomios de grado menor o igual a 1.

. Q Las soluciones de una inecuación son todos los s números reales que hacen que dicha inecuación sea ro b cierta. Li . w w w
Inecuaciones equivalentes

om c

El proceso de resolución de inecuaciones que veremos después se basa (igual que en el caso de lasecuaciones) en la transformación de la inecuación inicial en otra equivalente más sencilla. Se dice que dos inecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta la misma cantidad, se obtiene una inecuación equivalente. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una inecuación por una misma cantidad, se obtieneuna inecuación equivalente con el mismo sentido de la desigualdad, si esa cantidad es positiva, y con el sentido contrario si esa cantidad es negativa.

Resolución

Este proceso consiste en ir transformando inecuación inicial en otras equivalentes más simple hasta que el resultado final sea de alguno de lo siguientes tipos:

o hasta que el resultado final sea contradictorio, e cuyo caso, lainecuación no tiene soluciones.
EJEMPLO: x+2 ≤ 1 x ≤ -1

Restamos 2 a los dos miembros y queda:

El conjunto de soluciones se representa de cualquiera de la siguientes maneras: a) Como conjunto: {x ∈ IR / x ≤ -1} b) Como intervalo: (−∞, − 1] En forma gráfica: c)

⎧x < 2 ⎨ ⎩x < 4

⇒

x ∈ (−∞,2) x ∈ (−∞,4)

Soluciones del sistema: x ∈ (−∞,2)

w

w

.L Sistemas de inecuaciones wr ib

o

sQ

.

om c

Un sistema de inecuaciones de primer grado e un conjunto de dos o más inecuaciones de prime grado.

⎧x ≤ 9 ⎨ ⎩x > 4

x ∈ (−∞, 9] ⇒ x ∈ (4,+∞)

Soluciones del sistema: x ∈ (4, 9

]

Para resolver un sistema de inecuaciones con un incógnita se resuelve cada inecuación por separad Las soluciones del sistema las forman todos lo números reales que satisfagantodas y cada una d las inecuaciones del sistema.

Cada inecuación del sistema debe resolverse de form independiente hasta que quede en alguna de la formas siguientes:
⎧x ≤ −5 ⎨ ⎩x ≥ 4

⇒

x ∈ (−∞, − 5] x ∈ [4,+∞)

Soluciones del sistema: No tiene

En el margen puedes ver algunos ejemplos d resolución de sistemas de inecuaciones de prim grado con una incógnita.

EJERCICIOS resueltos
1.En cada caso indica cuál de las inecuaciones, I, II, III, IV es equivalente a la dada: a) Dada la inecuación −4x ≤ − 3x − 5 , indica cuál de las siguientes inecuaciones es equivalente a ella: I) −x ≥ − 5 II) x ≤ − 5 III) x ≤ 5 IV) −x ≤ − 5 b) Dada la inecuación −9x ≤ 6 , indica cuál de las siguientes inecuaciones es equivalente a ella: c) Dada la inecuación I) x ≥ −
6 9

II) x ≤ −

6 9−6x − 5 ≤ 5 , indica cuál de las siguientes inecuaciones es 9 50 50 equivalente a ella: I) x ≥ − II) x ≤ − 6 6 −6x + 7 8x − 4 > 2 −3

2. Resuelve la inecuación
−6x + 7 8x − 4 > −3 2

⇔ − 12x + 14 < − 24x + 12

⇔ 12x < − 2 ⇔ x < −

2 1 =− 12 6

1⎞ ⎛ x ∈ ⎜ − ∞, − ⎟ ⎜ 6⎟ ⎝ ⎠

3. Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones mostrando las soluciones en las formas indicadas en la explicación:w

w

w

.L

r ib

o

sQ

.

om c

Las soluciones comunes son los puntos que son a la vez mayores o iguales que –10’66 y menores estrictamente que 1,28. Por tanto las soluciones del sistema son los puntos del intervalo

[-10’66,1’28)

2. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Resolución por descomposición

Una inecuación de segundo grado es tod inecuación...