Inferencia Estadistica

TEORIA DE ESTIMACIÓN.

INTERVALOS DE CONFIANZA

La Estimación Puntual, consiste en encontrar estadísticos y sus propiedades para hacer la mejor aproximación numérica de un parámetro. Hemos visto que los estadísticos muéstrales más comunes como la media X, la varianza S2 sólo dan un valor numérico posible del parámetro correspondiente μ y σ2 respectivamente, es decir X y S2 son estimadorespuntuales de μ y σ2. Sin embargo, en la vida real, en el proceso de toma de decisiones, es deseable contar con un rango de posibles valores que pueden tomar estos parámetros, es decir un intervalo.

Dada la información de una muestra aleatoria, La Estimación por Intervalos de parámetros, consiste en encontrar estadísticos que representen los límites inferior y superior de los posibles valoresque éstos pueden tomar con un nivel de probabilidad establecido antes de sacar la muestra. Para lograr calcular dichos límites, es necesario conocer la distribución de probabilidad de los estimadores o funciones de éstos y así establecer el nivel de probabilidad, la cual es convertida en el ámbito de confianza en el momento que los estadísticos que representan los límites son reemplazados con losvalores muestrales.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA μ, CUANDO σ ES CONOCIDA.

Considere una variable aleatoria X, con una muestra aleatoria de tamaño n, el valor de X (media muestral) se puede usar para estimar μ (que puede ser desconocido) por ejemplo con un nivel de confianza de 95% de la siguiente manera:

P(μ-E≤X≤μ+E)
O su equivalente:
P(X-E≤μ≤X+E)

Donde el margen de error osimplemente error E, es la diferencia entre la media poblacional y la media muestral, es decir: E = X- μ

A (X-E,X+E) se le llama intervalo de confianza aleatorio de μ con un nivel de confianza del 95 %.
En la siguiente figura se muestra que algunos intervalos [x- E, x+E] contendrá a . Sin embargo habrá algunos intervalos que no contendrán a la verdadera μ, entonces, es conveniente especificar conuna cierta confianza, cual intervalo si contiene a μ; este nivel de confianza ó (gamma) puede ser por ejemplo una probabilidad de 0.95, por lo tanto a la diferencia a uno (0.05) se le conoce como nivel de error o α (alfa), es decir 1-α =γ ó 1-γ=α, por ejemplo 1-0.05 =0.95 ó 1-0.95=0.05 respectivamente.

No contiene a μ
No contiene a μ

x+E
x+E
x-E
x-E

x
x

μ
μ

Ejemplo 1.Supongamos que X, es una variable aleatoria normal con media μ, cuyo valor desconocemos y desviación estándar σ=2. De una muestra aleatoria con remplazamiento de 25 valores de X, obtenemos una media muestral x =10. Determinar el margen de error E para un intervalo de confianza del 95% para μ y hallar el correspondiente intervalo de confianza.

Partimos por definir la siguiente ecuación,para el intervalo de confianza aleatorio con un nivel de confianza del 95%.
Pμ-E≤X≤μ+E=0.95

En este caso utilizamos la formula de transformación Z, pero como estamos trabajando con medias, dividiremos σ, es decir:
Z=X-μσ/n o bien Z=Eσ/n donde: E = X- μ

Ahora, el denominador para el problema sería σ/n = 2/5= 0.4

Pμ-E≤X≤μ+E=0.95
Estandarizando se obtiene:P-E0.4≤X-μ0.4≤E0.4=0.95 o bien P-E0.4≤Z≤E0.4=0.95

Dado que estamos permitiendo un 5 % de error en la probabilidad, es conveniente especificar lo siguiente

97.5% o 0.975 es la probabilidad acumulada error
97.5% o 0.975 es la probabilidad acumulada error
2.5 % error
2.5 % error
2.5 % error
2.5 % error
Pμ-E≤X≤μ+E=0.95

Pμ-E≤X≤μ+E=0.95



Cuando buscamos el 95 % de confianza, implica un 5 %de nivel de error, el cual se reparte 2.5 % a la derecha e izquierda, de tal forma que el error queda a los extremos de la distribución. En estos casos buscamos en la tabla de distribución normal estándar acumulada el valor z correspondiente a una probabilidad de 0.975 y encontramos que z es 1.96, Es decir 1.96 es el valor crítico de z correspondiente a una probabilidad del 0.95, ya...