Integracion Por Fracciones Racionales

INTEGRACION POR FRACCIONES RACIONALES
Una fracción racional es aquella cuyo numerador y denominador son funciones racionales enteras, es decir, funciones en la que la variable no esta afectada porexponentes negativos o fraccionarios. Si el grado del numerador es igual o mayor al del denominador, la fracción puede reducirse a una expresión mixta dividiendo el numerador por el denominador. Porejemplo:
x4+ 3x3x2+2x+1=x2+x-3+5x+3x2+2x+1.
El ultimo termino es una fracción reducida a su mas simple expresión, con un numerador cuyo grado es menor que el denominador. Fácilmente se ve que losotros términos pueden integrarse inmediatamente; por tanto, solamente tenemos que considerar la fracción reducida.
Para integrar una expresión diferencial que contenga tal fracción, a menudo es necesariodescomponerla en fracciones parciales más simples, es decir, reemplazarla por la suma algebraica de fracciones cuyas formas nos permiten completar la integración. En Algebra superior se demuestra queesto es siempre posible cuando el denominador puede descomponerse en factores reales.
Caso 1. Los factores del denominador son todos de primer grado, y ningún factor se repite.
Corresponde a cadafactor no repetido de primer grado, como x-a, una fracción parcial de la forma
Ax-a
Siendo A constante. La fracción dada puede expresarse como una suma de fracciones de esta forma.
Caso 2. Losfactores del denominador son todos de primer grado, y algunos se repiten.
En este caso a todo factor de primer grado repetido n veces, como x-an, corresponde la suma de n fracciones parciales de laforma
Ax-an+Bx-an-1+…+Lx-a'
En donde A, B,…, L son constantes. Estas fracciones particulares se integran fácilmente.
Caso 3. El denominador contiene factores de segundo grado, pero ninguno deestos factores se repite.
A todo factor no repetido de segundo grado, como x2+px+q, corresponde una fracción parcial de la forma
Ax+Bx2+px+q.
Si p no es cero, completamos el cuadrado en el...