Integral de línea

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad “Fermín Toro”
Facultad de ingeniería
Cabudare-EDO-Lara






Integrales






Prof: Integrantes:
Jetsica valecillos Maikel MarturetC.I.:
Juan Alvarez
C.I.:26.085.548



Integral curvilinea

Trayectoria de una partícula a lo largo de una curvadentro de un campo vectorial. En la parte inferior están los vectores del campo vistos por la partícula a medida que viaja por la curva. La suma de los productos escalares de esos vectores con el vector tangente de la curva en cada punto de la trayectoria da como resultado la integral de línea.
En matemáticas, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre unacurva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.

Integral curvilínea de un campo escalar

Para f : R2 → R un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integral de trayectoria), parametrizada comor(t)=x(t)i+y(t)j con t  [a, b], está definida como:



Dónde: r: [a, b] → C esuna parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C. Las integrales de trayectoria son independientes de la parametrización r(t), porque solo depende de la longitud del arco, también son independientes de la dirección de la parametrización r(t).

Integral curvilínea de un campo vectorial

Para F : Rn → Rn un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizadacomo r(t) con t  [a, b], está definida como:



donde  es el producto escalar y r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.

Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización siempre y cuando las distintas parametrizaciones mantengan el sentido del recorrido de la curva. Encaso de elegirse dos parametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios, las integrales de línea del mismo campo vectorial resultarán con iguales módulos y signos contrarios.
Otra forma de visualizar esta construcción es considerar que



donde se aprecia que la integral de línea es un operador que asigna un número real al par  donde



es una 1-forma.


Independencia de la curva deintegración

Si el campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar G (o sea, si el campo vectorial F es conservativo), esto es:



entonces la derivada de la función composición de G y r(t) es:




con lo cual, evaluamos la integral de línea de esta manera:



La integral de F sobre C depende solamente de los valores en los puntos r(b) y r(a) y es independiente del camino entre a y b.
Por esta razón, uncampo vectorial que es el gradiente de un campo escalar, es llamado independiente del camino o también conservativo. Cabe destacar que si tenemos un campo arbitrario; tal que, las derivadas parciales iteradas sean iguales y además sea convexo; entonces este campo es el gradiente de una función potencial φ. Y por lo mencionado anteriormente la integral de línea del campo es independiente delcamino.


Integrales de Superficie
La integral de superficie es una extensión del concepto de integral doble, de igual modo en que la integral de línea es una extensión del concepto de integral de Riemannclásica. Como el nombre lo dice, es aquella integral cuya función es evaluada sobre una superficie.

Integral de superficie de un campo escalar
Se define la integral de superficie como:
Sea  una...