Integral De Linea

INTEGRAL DE LINEA
una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva es cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno

Integral curvilínea de un campo vectorial
Para F : Rn → Rn un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada como r(t) con t [a, b], estádefinida como:

donde es el producto escalar y r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.
Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización siempre y cuando las distintas parametrizaciones mantengan el sentido del recorrido de la curva. En caso de elegirse dosparametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios, las integrales de línea del mismo campo vectorial resultarán con iguales módulos y signos contrarios.
Otra forma de visualizar esta construcción es considerar que

donde se aprecia que la integral de línea es un operador que asigna un número real al par donde

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA INTEGRAL DE LINEA
Es aquella integral cuya función es evaluadasobre una curva.
En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también Integral de Contorno.


donde es continua en . El teorema del cambio total también se llama ecuación 1, La integral de una razón de cambio es el cambio total.
Si pensamos que el valor gradiente de una función de dos ó tres variables es una especie de derivada de , entonces el teoremasiguiente puede considerarse como una versión del Teorema Fundamental para las Integrales de Línea.
Teorema:
Sea una Curva C una curva suave dada por la función vectorial . Sea "f" una función derivable de dos ó tres variables, cuyo vector gradiente es continuo sobre C.
Entonces:

El teorema nos dice que podemos evaluar la integral de línea de un campo vectorial conservativo ( el campovectorial gradiente de la función potencial f) con solo conocer el valor de "f" en los extremos de C. De hecho el teorema nos expresa que la integral de línea de es el cambio total de "f". Si "f" es una función de dos variables y C es una curva plana con punto inicial A(X1, Y1) y punto final B(X2 , Y2), entonces el teorema se convierte en:

Si "f" es una función de tres variables y C es una curvaen el espacio que une con , entonces tenemos:

INTEGRALES DOBLES
Si la integral doble de F existe sobre R, entonces definimos la integral doble de sobre D como
2. donde F esta dada por la ecuación 1.
La definición 2 tiene sentido porque R es un rectángulo y por lo tanto se ha definido previamente. El procedimiento que hemos utilizado es razonable porque los valores de F(x,y) son 0 cuando (x,y) se encuentra fuera de D y por lo tanto no aportan nada a la integral. Esto significa que no importa cuál rectángulo R utilicemos mientras contenga a D.
Cuando aún podemos interpretar como el volumen del sólido que se encuentra arriba de D y debajo de la superficie .

Una región plana D se dice que es de tipo 1 si se encuentra entre las gráficas de dos funciones continuasde x, es decir:

donde y son funciones continuas en el intervalo [a,b].

Para evaluar cuando es una región tipo 1, escogemos un rectángulo que contiene a . Debemos hacer que sea la función dada por la ecuación 1, es decir, concuerda con en y es 0 fuera de . Entonces por el teorema de Fubini:

Observe que si O porque entonces se encuentra fuera de . Por tanto:

porque cuando . Asítenemos la siguiente fórmula que nos permite evaluar la integral doble como una integral iterada.
3 Si f es continua en una región D, tipo 1 tal que
entonces:

También consideramos regiones planas del tipo II que se pueden expresar como:
4
Por lo que podemos demostrar que :
5
cuando son continuas.

INTEGRALES TRIPLES...