Integral indefinida

INTEGRACIÓN INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

INTEGRALES INDEFINIDAS.
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.
PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. INTEGRAL INDEFINIDA.
Sean f y F dos funciones reales definidas en un mismo dominio. Diremos que F es una
función primitiva de f, o simplemente una primitiva de F, si F tiene por derivada f.
F es primitiva de f ⇔ F ' ( x ) = f ( x )
En notación diferencial:
F esprimitiva de f ⇔ d F ( x ) = f ( x ) ⋅ dx

DEFINICIÓN.
Dada una función f, se llama integral indefinida de f al conjunto de sus infinitas
primitivas {F + K }.

La integral indefinida se representa por
El símbolo

∫

∫ f ( x ).dx

se lee «integral de...» y f ( x ).dx se llama integrando. El número real K

recibe el nombre de «constante de integración».
EJEMPLOS:
1.

∫ cos x.dx = sen x+ K

2.

∫ 4 x dx = x

3.

∫ 2 xdx = x

3

2

4

ya que la derivada del seno es el coseno.

+K

+K

La integral indefinida es una familia de funciones dependiente de un parámetro cuyas
gráficas se obtienen por traslación de una primitiva.
Para la determinación de una primitiva es necesario conocer la constante de integración;
para ello necesitamos alguna otra condición,como puede ser el valor que toma la función
primitiva en un punto del dominio o un punto por el que pasa la gráfica de la función.

Ejemplo:
1. Halla una primitiva de la función f ( x ) = 2 x , cuya gráfica pasa por el punto P (1, 3).
Las primitivas de f son de la forma F ( x) = x 2 + K
Puesto que la gráfica pasa por P(1,3), tendremos
F (1) = 3

⇔

3 = 1+ K

Por tanto, la primitivapedida será F ( x) = x 2 + 2.

1

⇔

K =2

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PROPIEDADES LINEALES DE LA INTEGRACIÓN.
1. Integral de la suma o diferencia.
La integral de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de la
integrales de dichas funciones.

∫ ( f ± g )( x).dx = ∫ f ( x).dx ± ∫ g ( x).dx
Ejemplo:

∫ (2 x + cos x).dx = ∫ 2 x.dx + ∫cos x.dx = ( x

2

+ k1 ) + (sen x + k 2 ) =x 2 + sen x + (k1 + k 2 ) =

= x 2 + sen x + K
2. Integral del producto de un número real por una función.
La integral del producto de un número real por una función es igual al número real por la
integral de la función.

∫ k. f ( x).dx = k ∫ f ( x).dx
Ejemplo:

∫ 3.e dx = 3 ∫ e dx = 3e + C
x

x

x

TIPOS FUNDAMENTALES DE INTEGRACIÓN.La integración es el proceso recíproco de la derivación; por eso, la lectura de la tabla de
derivadas de derecha a izquierda nos proporciona las primitivas de las funciones elementales
tanto en la forma simple como en la forma compuesta.
Estas primitivas que se obtienen directamente de la tabla de derivadas se llaman
inmediatas, y el conjunto de ellas, integrales inmediatas.
Todas lastécnicas de integración consisten en transformar el integrando hasta obtener
una función que reconozcamos como inmediata. Por ello, el conocimiento y memorización de
los siguientes tipos es imprescindible para iniciarse en la integración.

2

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INTEGRALES DE FUNCIONES ELEMENTALES:
TIPOS
Potencial α≠−1
Logarítmico

F O
SIMPLES
x α +1
x α .dx =+K
∫
α +1
1
⋅ dx = Ln | x | + K
x

∫

∫e
Exponencial

Seno
Coseno

R

∫

x

∫ cos x.dx = sen x + K
∫ sen x.dx = − cos x + K
∫ sec x.dx = tg x + K
∫ (1 + tg x)dx = tg x + K
2

1

∫ cos

2

x

2

1

∫

x

⋅ dx = −ctg x + K

1
1− x

Arco seno (= −arco coseno)

∫

2

2

⋅ dx = arcsen x + K =

a2 − x2

⋅ dx = arcsen

= − arccos
1

Arcotangente
= −Arco cotangente.

∫1+ x

2

x
+K
a

2

2

2

= −arcctg x + K

⋅ dx = tg f + K

f

∫ f '.cosec f .dx = −ctg f + K
∫ (1 + tg f ) f ' dx = tg f + K
2

2

f'

∫ sen
∫
∫

2

f

⋅ dx = −ctg f + K

f'
1− f

2

⋅ dx = arcsen f + K =

f'
a2 − f

x
+K
a

⋅ dx = arctg x + K

1
⋅af + K
Ln a

∫ f '.cos f .dx = sen f + K
∫ f '.sen f...