Integrales impropias

Integrales impropias
pzadunaisky@gmail.com 24 de julio de 2008
t

1. Decidir si la funci´n f (t) = o
0

cos(w1 x) cos(w2 x)dx es acotada.

Demostraci´n. Pensemos un rato en lo que nos est´n pidiendo. Podemos tratar de acotar la funci´n, pero en o a o general las cotas fallan... la mejor cota para cada cosa es un uno, as´ que |f (t)| ≤ t, pero es muy dif´ conseguir ı ıcil algo mejor sintomar en cuenta que las cosas que estamos integrando no son cualquier banana, sino dos cosenos relacionados por constantes.
t

Para empezar, haciendo un cambio de variables, es obvio que basta ver que f (t) =
0

cos(x) cos(wx)dx es siempre

acotada. Fijense que si encontramos una primitiva y vemos que esa primitiva es siempre acotada, ganamos. Entonces, usamos un viejo truquito... Recuerdenla f´rmula de integraci´n por partes: udv = uv − vdu. En o o este caso en particular, si llamamos v = cos(x), u = cos(wx) cos(x) cos(wx)dx = cos(wx) sen(wx) + w sen(x) sen(wx)

Parece que no adelantamos nada, porque nos aparece una integral tan fea como antes. Sin embargo, el viejo truquito ya mencionado empieza a hacer efecto ac´... hacemos partes otra vez, ahora con sen(x) y sen(wx) y atenemos que cos(wx) sen(wx) + w sen(x) sen(wx) = cos(wx) sen(wx) − w cos(x) sen(wx) + w2 cos(x) cos(wx)

Entonces, oh maravilla, podemos pasar esta ultima integral al otro lado, y tenemos que ´ cos(wx) sen(wx) − w cos(x) sen(wx) 1 − w2

(1−w2 )

cos(x) cos(wx)dx = cos(wx) sen(wx)−w cos(x) sen(wx) ∴

cos(x) cos(wx)dx =

F´ ıjense que esto se puede hacer solamente si w2 = ±1. Les queda comotarea pensar qu´ pasa si este no es el e caso. Vamos a enunciar el famoso teorema que tan bien le hubiera venido a Francisco la semana pasada... y despu´s e vamos a mostrar que le hubiera venido MUY bien. f (x) = c ∈ R. Si f y g son continuas en el Teo. Sean f y g dos funciones reales, y sea a ∈ R, tal que limx→a g(x)
a a

intervalo [b, a) (o (a, b]), entonces las integrales
b

f y
b

gtienen el mismo comportamiento (ambas convergen

o ambas divergen). Lo mismo para el otro caso.
+∞

2. Analizar la convergencia de la integral
0

xp dx. 1 + x2

Demostraci´n. OK, paso 1, hacerse la vida m´s sencilla. Tenemos 2 (dos) problemas en esta integral, ¿s´ Uno o a ı? por arriba y otro por abajo... si p < 1, la funci´n no est´ definida en 0, y nos vamos a sacar de encima el problema oa de un saque. +∞ 1 +∞ xp xp xp Entonces, dividimos la integral de la siguiente manera dx = dx + dx. Ahora 2 2 1+x 1 + x2 0 1+x 1 0 en lugar de estudiar la convergencia de toda la integral, nos fijamos en cada pedazo... 1 xp I) Primero miramos la parte dx. Bueno, como ya estuvimos insistiendo, vamos a usar comparaci´n. o 2 0 1+x p 2 p Notar que el integrando tiene una x arriba, y abajo un 1 + x .No sabemos que pasas con el x (depende de

1

p), pero claramente 1 + x2 → 1, as´ que cerca del 0, esto se comporta como x , o eso parece. Tomamos entonces ı 1 xp 1 el l´ ımite l´ ım · p = 1. Luego, tienen el mismo comportamiento cerca del cero, y la integral en cuesti´n o x→0 1 + x2 x
1

p

converge si y s´lo si la integral o integral converge sii p > −1
0

xp converge. Pero bueno, esintegral es francamente calculable, y nos da que la
+∞

xp dx. Mirando fijamente el cociente, vemos que a la larga el 1 + x2 1 1 no importa, porque el x2 se est´ haciendo muy muy muy muy grande, as´ que el 1 queda chiquito frente a a ı p ´l... entonces, a la larga eso se va a comportar como x2 o eso parece... as´ que comparamos con xp−2 , y tenemos e ı x +∞ 1 xp · p−2 = 1, as´ que todo marcha,y la integral converge sii ı xp−2 converge. Es entonces que l´ ım x→+∞ 1 + x2 x 1 integral converge sii p < 1. Para que la primera integral sea convergente, necesitamos que las dos integrales sean convergentes, es decir que p > −1 y que p < 1. Entonces, la integral converge sii −1 < p < 1. II) En el otro caso, miramos la integral

3. Analizar la convergencia de la integral impropia:
+∞ 1

√...