Integrales Impropias

Integrales impropias:

¿Cómo se resuelven? ¿Dónde se aplican?. Si hay casos realizar un ejercicio de cada uno.

Al definir la integral definida , pretendimos que la función f estaba en el intervalo cerrado [a, b]. Ahora extenderemos en el interior de la integral y a tal integral la denominamos integral impropia.

Ejemplo 1: Consideramos el problema de calcular el área de la región limitadapor la curva y = e –x , el eje x, el eje y, y la recta x = b, donde b > 0. Si A unidades cuadradas es el área de la región.

A = Lim ∑ e –εi i x
║ ║ i = 1
=
=
=


Si dejamos que b aumente sin límite, entonces:

Lim (1)
b + ∞ b + ∞

Lim
b+ ∞

De la ecuación (1) concluimos que independientemente de lo grande de valor que tenemos para b, el área de la región mostrada en la figura, siempre será menor que una unidad cuadrada.

La ecuación implica que si b > 0, para cualquier є > 0 existe N > 0 tal que.

< є siempre que b > N

En lugar de (1) escribimos



En general tenemos la siguiente definición.

Si f es continuapara toda x ≥ a, entonces.



Si este límite existe.

Si el límite inferior de integración es infinito, tenemos la definición siguiente.

Si f es continua para toda x ≤ b, entonces



Si este límite existe.

Finalmente, tenemos el caso cuando ambos límites de integración son infinitos:

Definición: si f es continua para todos los valores de x y c es cualquier número real,entonces:



Si este límite existe.

Cuando se aplica la definición, c generalmente se toma como 0

En las definiciones anteriores, si los límites existen decimos que la integral impropia es convergente. Si no existen, decimos que la integral es divergente.

Ejemplo 1: evaluar

si convergen solución



Ejemplo 2: evaluar, si existen: solución

(a) ; (b)

(a) de ladefinición con c = 0 tenemos



Puesto que ninguno de éstos dos límites existen, la integral impropia diverge.

(b)

El ejemplo 2: ilustra por qué no empleamos el límite en (b) para determinar la convergencia de una integral impropia donde ambos límites de integración son infinitos. Es decir, la integral impropia en (a) es divergente, pero el límite en (b) existe y es cero.

Ejemplo 3:evaluar.

si converge. Solución:



Ejemplo 4: ¿es posible asignar un número infinito para representar la medida del área de la región limitada por las gráficas de la ecuaciones y = 1/x, y = 0 y x = 1?.

Solución: la región se muestra en la figura. Sea L el número que deseamos asignar a la medida del área, si es posible. Sea A la medida del área de la región limitada por las gráficas de lasecuaciones y V 1/x, y = 0, x = 1, y x = b donde b > 1. Entonces.

A

Así, hacemos L = A si este límite existe. Pero






Por lo tanto, no es posible asignar un número finito para representar la medida del área de la región.

Ejemplo 5: ¿Es posible asignar un número finito para representar la medida del volumen del sólido generado al hacer girar la región del ejemplo 4 alrededordel eje x?

Solución: El elemento de volumen es un disco circular que tiene un espesor de y un radio de base de . Sea L el número que deseamos asignar a la medida del volumen, y sea V la medida del volumen del sólido que se genera al girar, alrededor del eje x, la región limitada por las gráficas de las ecuaciones y = 1/x, y = 0, x = 1, y x = b donde b > 1. Entonces.



Hacemos L = V,si el límite existe.





Por lo tanto asignamos para representar la medida del volumen del sólido.

Ejemplo 6: Determinar si: es convergente o divergente.

Solución:


Para cualquier entero n, conforme b toma todos los valores de n a 2n , Cos b toma todos los valores de -1 a 1. Por lo tanto, no existe. Por lo tanto, la integral impropia es divergente.

El ejemplo 6...