Integrales impropias

Integrales Impropias
Una integral definida requiere de dos propiedades fundamentales, un dominio de integración [a,b] que sea finito y que el rango del integrando en este dominio sea infinito. En lapráctica podemos encontrar problemas que no cumplen una o ambas condiciones. En cualquier caso se dice que las integrales son impropias y se calculan como límites.
Las integrales impropias tienenambos límites de integración finitos, y la función que se integra es continua en el intervalo de integración.
Los casos de integrales impropias son justamente donde uno o ambos límites de integraciónson infinitos o donde el integrando es discontinuo en un número finito de puntos del intervalo de integración.
[pic]
Se toma un valor b para calcular [pic] y luego se hace tender b a ∞.
Es decir:[pic]
[pic]
Si el límite existe en la integral se dirá que es convergente de lo contrario es divergente.

DEFINICIÓN
• Integrales Impropias del Tipo I
Las integrales con límite deintegración finitos son integrales impropias del tipo I,
1. Si f(x) es continua en [a,∞] entonces:
[pic]
2. Si f(x) es continua en (- ∞,b] entonces:
[pic]
3. Sif(x) es continua en (- ∞,∞) entonces:
[pic]
en donde c es cualquier número real.
En cada caso, si el límite es infinito decimos que la integral impropia converge y que ellímite es el valor de la integral impropia. Si el límite no existe, la integral impropia diverge.

EJEMPLO 1
• Evaluación de una Integral Impropia en [1,∞]

¿El área bajo la curva y = (In x)/X2de X = 1 a X = ∞ es finita? De ser así. ¿Cuál es?

Solución;

Determinamos el área bajo la curva, de X=1 a X=b, y examinamos el limite cuando b —>∞. Si el límite es finito, lo tomamos como elárea bajo la curva. De 1 a b el área es:

[pic]

El limite del área cuando b—>∞ es

[pic]
En consecuencia, la integral impropia converge y el área tiene un valor finito de 1.
• La...