integrales impropias
Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ingeniería
Cálculo 2 Para Ingeniería
Cristián Burgos G.
Guía de Ejercicios: Integrales Impropias
Ejercicios Resueltos.
1. Calcule las siguientes integrales
(a)
ˆ
∞
0
(b)
ˆ
dx
(x2 + 4)2
∞
2e−x sin xdx
0
(c)
ˆ
1
√
0
dx
1−x
Solución:
(a) Por denición
ˆ
0
∞
ˆ
dx
2 + 4)2
(x
=c
lim
c→∞
0
(x2
dx
+ 4)2
Haciendo el cambio x = 2 tan θ ⇒ dx = 2 sec2 θdθ de donde desprendemos que
entonces
ˆ
lim
c→∞
0
c
dx
(x2 + 4)2
ˆ
=
=
=
=
c
arctan( 2 )
lim
c→∞
0
ˆ
c
arctan( 2 )
lim
c→∞
0
1
lim
8 c→∞
ˆ
c
x = c ⇒ θ = arctan( 2 )
,
x=0 ⇒θ=0
2 sec2 θdθ
16(tan2 θ + 1)2
dθ
8 sec2 θ
c
arctan( 2 )cos2 θdθ
0
1
lim
16 c→∞
ˆ
c
arctan( 2 )
(1 + cos(2θ))dθ
0
arctan( c )
=
=
Luego, si c → ∞ ⇒ arctan
c
2
→
π
2
2
1
1
lim θ + sin(2θ)
c→∞
16
2
0
1
c
1
c
lim arctan
+ sin 2 arctan
16 c→∞
2
2
2
, por lo tanto
ˆ
∞
π
dx
=
(x2 + 4)2
32
0
ˆ
(b) Resolveremos indenidamente la integral I = 2e−x sin xdx . Integtando por partes
u =sin x ⇒
v = −2e−x
⇒
du = cos xdx
dv = 2e−x dx
Entonces
ˆ
I
= −2e
−x
sin x +
2e−x cos xdx
2
Integrando por partes la resultante tenemos que
u = cos x ⇒
v = −2e
−x
du = − sin xdx
dv = 2e−x dx
⇒
Luego
ˆ
I
2I
=
I
Por lo tanto
=
=
ˆ
−2e
−x
sin x − 2e
2e−x sin xdx
cos x −
−2(sin x + cos x)
ex
− sin x − cos x
+Cex
∞
∞
− sin x − cos x
ex
0
− sin(0) − cos(0)
0−
e0
2e−x sin xdx =
0
=
ˆ
−x
∞
2e−x sin xdx =
1
0
(c) Por denición
ˆ
1
√
0
ˆ
dx
1−x
=
c
√
lim
c→1−
0
dx
1−x
x=c ⇒u=1−c
, reemplazando
x=0 ⇒u=1
Sea u = 1 − x ⇒ −du = dx de donde
2. La función Gamma Γ :]0, +∞[→ R se dene por
ˆ
∞
xn−1 e−x dx
Γ(n) =
0
(a)Demuestre que Γ(n + 1) = nΓ(n)
(b) Demuestre que
ˆ
1
n−1
1
u
ln
0
du = Γ(n)
(c) Sean p > −1 y q ∈ N , utilice lo anterior para calcular
ˆ
1
q
xp (ln x) dx
0
Solución:
(a) Se tiene que Γ(n + 1) =
ˆ
∞
xn e−x dx . Integrando por partes tenemos que
0
u = xn
v = −e−x
⇒ du = nxn−1 dx
⇒ dv = e−x dx
Luego
∞
Γ(n + 1)
xn
= − x
+n
e 0
=nΓ(n)
ˆ
∞
xn−1 e−x dx
0
3
1
(b) Consideremos el cambio x = ln u ⇒ e−x = u ⇒ du = −e−x dx en donde si
ˆ
=
0
Γ(n)
n−1
1
u
ln
ˆ 0
−
xn−1 e−x dx
∞
ˆ ∞
xn−1 e−x dx
=
1
u=1 ⇒x=∞
, entonces
u=0 ⇒x=0
du =
0
(c) Considere el cambio x = e−t ⇒ dx = −e−t dt , de donde sigue que
ˆ
1
q
xp (ln x) dx
0
x=1 ⇒t=0
reemplazando
x=0 ⇒t=∞ˆ 0
q
e−pt ln e−t e−t dt
= −
∞
ˆ ∞
e−(p+1)t (−1)q tq dt
=
0
ˆ ∞
q
tq e−(p+1)t dt
= (−1)
0
Sea w = (p + 1)t ⇒ t =
w
p+1
y dt =
ˆ
1
p+1 dw
, reemplazando
ˆ
∞
tq e−(p+1)t dt
(−1)q
=
0
w
p+1
0
=
=
=
=
3. Este ejercicio tiene por objetivo mostrar que
ˆ
∞
(−1)q
ˆ
q
e−w
ˆ ∞
(−1)q
wq e−w dw
(p + 1)q+1 0
ˆ ∞
(−1)qw(q+1)−1 e−w dw
(p + 1)q+1 0
(−1)q
Γ(q + 1)
(p + 1)q+1
(−1)q · q!
(p + 1)q+1
ˆ
+∞
c
f (x)dx = lim
c→∞
−∞
−c
f (x)dx . Para ello:
∞
2xdx
diverge.
x2 + 1
ˆ0
2xdx
(b) Demuestre que
también diverge
2
R x +1
ˆ c
2xdx
(a) (c) Muestre que lim
= 0 y a partir de ello concluya.
c→∞ −c x2 + 1
(a) Demuestre que
Solución:
Luego
ˆ
0
Conluimos que laintegral diverge.
∞
2xdx
x2 + 1
2xdx
x2 + 1
ˆ
2xdx
x2 + 1
ˆ
du
=
u
= ln(x2 + 1) + C
(a) Usaremos la via de calcular la integral indenida
ˆ
dw
p+1
=
ln(x2 + 1)
∞
0
=∞
4
(b) Sabemos que
ˆ
R
2xdx
x2 + 1
ˆ
0
=
−∞
2xdx
+
x2 + 1
ˆ
∞
2xdx
x2 + 1
0
tenemos que la integral anterior, se compone de dos integrales,...
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