integrales impropias

Páginas: 7 (1723 palabras) Publicado: 28 de marzo de 2014
1

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ingeniería
Cálculo 2 Para Ingeniería
Cristián Burgos G.

Guía de Ejercicios: Integrales Impropias
Ejercicios Resueltos.

1. Calcule las siguientes integrales
(a)

ˆ



0

(b)

ˆ

dx
(x2 + 4)2



2e−x sin xdx
0

(c)

ˆ

1


0

dx
1−x

Solución:

(a) Por denición
ˆ
0



ˆ

dx
2 + 4)2
(x

=c

lim

c→∞

0

(x2

dx
+ 4)2

Haciendo el cambio x = 2 tan θ ⇒ dx = 2 sec2 θdθ de donde desprendemos que
entonces
ˆ
lim

c→∞

0

c

dx
(x2 + 4)2

ˆ
=
=
=
=

c
arctan( 2 )

lim

c→∞

0

ˆ

c
arctan( 2 )

lim

c→∞

0

1
lim
8 c→∞

ˆ

c
x = c ⇒ θ = arctan( 2 )
,
x=0 ⇒θ=0

2 sec2 θdθ
16(tan2 θ + 1)2

8 sec2 θ

c
arctan( 2 )cos2 θdθ

0

1
lim
16 c→∞

ˆ

c
arctan( 2 )

(1 + cos(2θ))dθ
0
arctan( c )

=
=

Luego, si c → ∞ ⇒ arctan

c
2



π
2

2
1
1
lim θ + sin(2θ)
c→∞
16
2
0
1
c
1
c
lim arctan
+ sin 2 arctan
16 c→∞
2
2
2

, por lo tanto
ˆ



π
dx
=
(x2 + 4)2
32
0
ˆ
(b) Resolveremos indenidamente la integral I = 2e−x sin xdx . Integtando por partes
u =sin x ⇒
v = −2e−x



du = cos xdx
dv = 2e−x dx

Entonces

ˆ
I

= −2e

−x

sin x +

2e−x cos xdx

2

Integrando por partes la resultante tenemos que
u = cos x ⇒
v = −2e

−x

du = − sin xdx
dv = 2e−x dx



Luego

ˆ
I
2I

=

I

Por lo tanto

=

=

ˆ

−2e

−x

sin x − 2e

2e−x sin xdx

cos x −

−2(sin x + cos x)
ex
− sin x − cos x
+Cex




− sin x − cos x
ex
0
− sin(0) − cos(0)
0−
e0

2e−x sin xdx =
0

=
ˆ

−x



2e−x sin xdx =

1

0

(c) Por denición
ˆ

1


0

ˆ

dx
1−x

=

c



lim

c→1−

0

dx
1−x

x=c ⇒u=1−c
, reemplazando
x=0 ⇒u=1

Sea u = 1 − x ⇒ −du = dx de donde

2. La función Gamma Γ :]0, +∞[→ R se dene por
ˆ



xn−1 e−x dx

Γ(n) =
0

(a)Demuestre que Γ(n + 1) = nΓ(n)
(b) Demuestre que
ˆ

1

n−1

1
u

ln
0

du = Γ(n)

(c) Sean p > −1 y q ∈ N , utilice lo anterior para calcular
ˆ

1

q

xp (ln x) dx
0
Solución:

(a) Se tiene que Γ(n + 1) =

ˆ



xn e−x dx . Integrando por partes tenemos que

0

u = xn
v = −e−x

⇒ du = nxn−1 dx
⇒ dv = e−x dx

Luego


Γ(n + 1)

xn
= − x
+n
e 0
=nΓ(n)

ˆ



xn−1 e−x dx
0

3

1
(b) Consideremos el cambio x = ln u ⇒ e−x = u ⇒ du = −e−x dx en donde si

ˆ

=

0

Γ(n)

n−1

1
u

ln

ˆ 0

xn−1 e−x dx

ˆ ∞
xn−1 e−x dx

=

1

u=1 ⇒x=∞
, entonces
u=0 ⇒x=0

du =

0

(c) Considere el cambio x = e−t ⇒ dx = −e−t dt , de donde sigue que
ˆ

1

q

xp (ln x) dx
0

x=1 ⇒t=0
reemplazando
x=0 ⇒t=∞ˆ 0
q
e−pt ln e−t e−t dt
= −

ˆ ∞
e−(p+1)t (−1)q tq dt
=
0
ˆ ∞
q
tq e−(p+1)t dt
= (−1)
0

Sea w = (p + 1)t ⇒ t =

w
p+1

y dt =
ˆ

1
p+1 dw

, reemplazando
ˆ



tq e−(p+1)t dt

(−1)q

=

0

w
p+1

0

=
=
=
=

3. Este ejercicio tiene por objetivo mostrar que
ˆ



(−1)q

ˆ

q

e−w

ˆ ∞
(−1)q
wq e−w dw
(p + 1)q+1 0
ˆ ∞
(−1)qw(q+1)−1 e−w dw
(p + 1)q+1 0
(−1)q
Γ(q + 1)
(p + 1)q+1
(−1)q · q!
(p + 1)q+1
ˆ

+∞

c

f (x)dx = lim

c→∞

−∞

−c

f (x)dx . Para ello:



2xdx
diverge.
x2 + 1
ˆ0
2xdx
(b) Demuestre que
también diverge
2
R x +1
ˆ c
2xdx
(a) (c) Muestre que lim
= 0 y a partir de ello concluya.
c→∞ −c x2 + 1

(a) Demuestre que

Solución:

Luego

ˆ
0

Conluimos que laintegral diverge.



2xdx
x2 + 1

2xdx
x2 + 1

ˆ

2xdx
x2 + 1
ˆ
du
=
u
= ln(x2 + 1) + C

(a) Usaremos la via de calcular la integral indenida
ˆ

dw
p+1

=

ln(x2 + 1)


0

=∞

4

(b) Sabemos que
ˆ
R

2xdx
x2 + 1

ˆ

0

=
−∞

2xdx
+
x2 + 1

ˆ



2xdx
x2 + 1

0

tenemos que la integral anterior, se compone de dos integrales,...
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