Integrales impropias
Páginas: 16 (3952 palabras)
Publicado: 16 de noviembre de 2014
6.2 Integrales Impropias
Convergencia absoluta y condicional
∞
Se dice que la integral impropia
∫ f ( x )dx
converge absolutamente, si
a
∞
∫
f ( x ) dx es convergente.
a
∞
cos x
∫ 1+ x
Ejemplo.
2
dx
0
cos x
1
≤
2
1+ x
1+ x2
por comparación directa
∞
La integral impropia
1
∫ 1+ x
2
dx es convergente por comparación directa1
∞
1
∫x
con la p-integral
2
dx
1
∞
Luego también
cos x
∫ 1+ x
2
dx converge por comparación directa
1
∞
1
dx
1+ x2
1
con ∫
Finalmente podemos concluir que
∞
∞
1
cos x
cos x
cos x
∫0 1 + x 2 dx = ∫0 1 + x 2 dx + ∫1 1 + x 2 dx es convergente
∞
cos x
∫ 1+ x
Por lo tanto
2
dx es absolutamente convergente
0
∞Teorema. Si la integral impropia
∫
f ( x ) dx converge, entonces la integral
a
∞
∫ f ( x )dx
converge.
a
Demostración. Como − f ( x ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x ) ,
0 ≤ f ( x) + f ( x) ≤ 2 f ( x)
∞
Por hipótesis
∫
f ( x ) dx es convergente, entonces por comparación directa
a
∞
la integral
∫ ( f ( x) +
f ( x ) )dx converge
a
1
∞
∫
Deconde
∞
∞
a
a
f ( x )dx = ∫ ( f ( x ) + f ( x ) )dx − ∫ f ( x ) dx es convergente por ser
a
suma de dos integrales impropias convergentes.
∞
Ejemplo. Aplique el criterio de convergencia absoluta a
∞
Para
∫
1
e − x ( senx )
dx
x
e − x ( senx ) e − x
≤
x
x
Observamos
1 < x,
e − x ( senx )
∫1 x dx
y
e− x
< e−x
x
1
< 1,
x
∞
Además
∫e−x
dx es integral geométrica con c = 1 > 0
y converge, por lo
1
∞
tanto, por el criterio de comparación directa
∫
1
∞
e − x ( senx )
dx ,
x
−x
e ( senx )
dx converge absolutamente, y por el criterio de
x
1
∫
es decir,
∞
convergencia absoluta,
e − x ( senx )
∫1 x dx también converge
∞
Definición. Se dice que la integral impropia
∫ f ( x)dx
es
a
∞
condicionalmente convergente, en el caso de que
∫ f ( x )dx
converge pero
a
∞
∫
f ( x ) dx diverge
a
∞
Ejemplo.
∫
0
senx
dx es condicionalmente convergente
x
Observamos que no es integral impropia de segunda clase ya que existe
senx
cos x
= lim
= 1 aplicando L´Hopital
x
→
0
x
1
∞
senx
1. ∫
dx es convergente
x
0
lim
x →0Para b > 0 escribimos b = nπ + rn para algún natural n y 0 ≤ rn < π
2
∞
Como
b
senx
senx
dx
∫0 x dx = lim
∫
x
b →∞ a
Separamos la integral
nπ
b
senx
∫0 x dx =
senx
∫0 x dx +
nπ + rn
senx
dx = I1 + I 2
x
∫π
n
Nos interesa el comportamiento de las dos integrales cuando n → ∞
Para que b → ∞ y el límite de la suma es la suma de los límites si esque
existen.
nπ + rn
∫π
Para I 2 =
n
nπ + rn
∫π
n
senx
dx ≤
x
senx
dx tenemos
x
nπ + rn
∫π
n
nπ + rn
≤
∫π
nπ
senx
dx
x
1
dx
x
1
1
1
≤ ≤
nπ + rn x nπ
Como nπ ≤ x ≤ nπ + rn ,
nπ + rn
∫π
n
senx
dx ≤
x
nπ + rn
∫π
n
1
dx ≤
x
nπ + rn
∫π
n
1
1
1
1
dx =
(rn ) <
π=
nπ
nπ
nπ
n
nπ + rn
De modoque cuando n → ∞
∫π
n
nπ + rn
∫π
nπ
entonces,
senx
dx → 0 y en consecuencia
x
senx
dx → 0
x
nπ
∫
Para I1 =
0
senx
dx
x
La separamos en intervalos de longitud π
nπ
π
senx
senx
I1 = ∫
dx = ∫
dx +
x
x
0
0
n
=∑
kπ
∫
k =1 ( k −1) π
∞
kπ
∑ ∫
π
k =1 ( k −1) π
donde
∫π
( k −1)
nπ
senx
senx
∫π x dx + L + (n−∫1)π x dx
n
senx
dx = ∑ bk
x
k =1
Cuando n → ∞
kπ
2π
∞
senx
dx = ∑ bk tenemos una serie,
x
k =1
senx
dx = bk
x
la cual veremos que es alternante y que cumple el criterio de Liebnitz.
3
Como los términos de la serie corresponden a integrales en intervalos
consecutivos de longitud π de la función senx , la función cambia de
signo, por lo que la serie es...
Convergencia absoluta y condicional
∞
Se dice que la integral impropia
∫ f ( x )dx
converge absolutamente, si
a
∞
∫
f ( x ) dx es convergente.
a
∞
cos x
∫ 1+ x
Ejemplo.
2
dx
0
cos x
1
≤
2
1+ x
1+ x2
por comparación directa
∞
La integral impropia
1
∫ 1+ x
2
dx es convergente por comparación directa1
∞
1
∫x
con la p-integral
2
dx
1
∞
Luego también
cos x
∫ 1+ x
2
dx converge por comparación directa
1
∞
1
dx
1+ x2
1
con ∫
Finalmente podemos concluir que
∞
∞
1
cos x
cos x
cos x
∫0 1 + x 2 dx = ∫0 1 + x 2 dx + ∫1 1 + x 2 dx es convergente
∞
cos x
∫ 1+ x
Por lo tanto
2
dx es absolutamente convergente
0
∞Teorema. Si la integral impropia
∫
f ( x ) dx converge, entonces la integral
a
∞
∫ f ( x )dx
converge.
a
Demostración. Como − f ( x ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x ) ,
0 ≤ f ( x) + f ( x) ≤ 2 f ( x)
∞
Por hipótesis
∫
f ( x ) dx es convergente, entonces por comparación directa
a
∞
la integral
∫ ( f ( x) +
f ( x ) )dx converge
a
1
∞
∫
Deconde
∞
∞
a
a
f ( x )dx = ∫ ( f ( x ) + f ( x ) )dx − ∫ f ( x ) dx es convergente por ser
a
suma de dos integrales impropias convergentes.
∞
Ejemplo. Aplique el criterio de convergencia absoluta a
∞
Para
∫
1
e − x ( senx )
dx
x
e − x ( senx ) e − x
≤
x
x
Observamos
1 < x,
e − x ( senx )
∫1 x dx
y
e− x
< e−x
x
1
< 1,
x
∞
Además
∫e−x
dx es integral geométrica con c = 1 > 0
y converge, por lo
1
∞
tanto, por el criterio de comparación directa
∫
1
∞
e − x ( senx )
dx ,
x
−x
e ( senx )
dx converge absolutamente, y por el criterio de
x
1
∫
es decir,
∞
convergencia absoluta,
e − x ( senx )
∫1 x dx también converge
∞
Definición. Se dice que la integral impropia
∫ f ( x)dx
es
a
∞
condicionalmente convergente, en el caso de que
∫ f ( x )dx
converge pero
a
∞
∫
f ( x ) dx diverge
a
∞
Ejemplo.
∫
0
senx
dx es condicionalmente convergente
x
Observamos que no es integral impropia de segunda clase ya que existe
senx
cos x
= lim
= 1 aplicando L´Hopital
x
→
0
x
1
∞
senx
1. ∫
dx es convergente
x
0
lim
x →0Para b > 0 escribimos b = nπ + rn para algún natural n y 0 ≤ rn < π
2
∞
Como
b
senx
senx
dx
∫0 x dx = lim
∫
x
b →∞ a
Separamos la integral
nπ
b
senx
∫0 x dx =
senx
∫0 x dx +
nπ + rn
senx
dx = I1 + I 2
x
∫π
n
Nos interesa el comportamiento de las dos integrales cuando n → ∞
Para que b → ∞ y el límite de la suma es la suma de los límites si esque
existen.
nπ + rn
∫π
Para I 2 =
n
nπ + rn
∫π
n
senx
dx ≤
x
senx
dx tenemos
x
nπ + rn
∫π
n
nπ + rn
≤
∫π
nπ
senx
dx
x
1
dx
x
1
1
1
≤ ≤
nπ + rn x nπ
Como nπ ≤ x ≤ nπ + rn ,
nπ + rn
∫π
n
senx
dx ≤
x
nπ + rn
∫π
n
1
dx ≤
x
nπ + rn
∫π
n
1
1
1
1
dx =
(rn ) <
π=
nπ
nπ
nπ
n
nπ + rn
De modoque cuando n → ∞
∫π
n
nπ + rn
∫π
nπ
entonces,
senx
dx → 0 y en consecuencia
x
senx
dx → 0
x
nπ
∫
Para I1 =
0
senx
dx
x
La separamos en intervalos de longitud π
nπ
π
senx
senx
I1 = ∫
dx = ∫
dx +
x
x
0
0
n
=∑
kπ
∫
k =1 ( k −1) π
∞
kπ
∑ ∫
π
k =1 ( k −1) π
donde
∫π
( k −1)
nπ
senx
senx
∫π x dx + L + (n−∫1)π x dx
n
senx
dx = ∑ bk
x
k =1
Cuando n → ∞
kπ
2π
∞
senx
dx = ∑ bk tenemos una serie,
x
k =1
senx
dx = bk
x
la cual veremos que es alternante y que cumple el criterio de Liebnitz.
3
Como los términos de la serie corresponden a integrales en intervalos
consecutivos de longitud π de la función senx , la función cambia de
signo, por lo que la serie es...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.