Integrales Lineales

definición de un vector en r2 r3 y su interpretación geométrica

 
Definición de un vector en el plano mediante sus componentes
Si v es un vector ene le plano cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto final es (V1,V2) entonces el vector v queda dado mediante sus componentes de la siguiente manera
V = (V1,V2)
Las coordenadas v1 y v2 son las componentes de v si el punto inicial y elpunto final esta en el origen entonces v es el vector cero (o vector nulo) y se denota por 0 = (0.0)
Estas definición indica
Que los vectores u =(u1,u2) y v = (v1,v2) son iguales si y solo si u1 =v1 y u2 = v2
Los procedimientos siguientes pueden usarse para convertir un vector dado mediante un segmento de recta dirigido en un vector dado mediante sus componentes o viceversa
1si p (p1,p2) y Q(q1,q2) son los puntos iniciales y finales de un segmento de recta dirigido , el vector v representado por →PG dado mediante sus componentes es (v1,v2) = (q1,- p1,q2 – p2) la longitud (o magnitud )de v es
IIvII = √((q1-p1)^2+ (q2-p2)²)
=√(v1²+v_2^2 )
2 si v =(v1,v2), v puede representarse por el segmento de rectas dirigido, en la posición canoníca o estándar que va de p(0,0) a Q (v1,v2)
Alalongitud de v también se le llama la norma de v si IIvII = 1 v es un vector unitario y IIvII = 0 si y solo si v es el vector cero 0
Ejemplo hallar la componente de longitud de un vector
Hallar las componentes y la longitud del vector v que tiene el punto inicial (3,-7) y el punto final (-2,5)
Solución
Sean p(3,7) = (p1,p2) y Q(-2,5) = (q1,q2) . Entonces las componentes de v = (v1,v2) sonV1 = q1 – p1 = -2 -3 = -5
V2 = q2 –p2 = 5 – (-7) = 12
Asi como se muestra en la fugura 11.5 v = (-5,12) y la longitud de v es
IIvII = √((-5)^2+ 12²)
=√169
=13.


 

 
Definición de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar
Sean u = (u1,u2) y v = (v1,v2) vectores y sea c un escalar
la suma vectorial de u y v es el vector u + v = (u1 + v1, u2 + v2)
el múltiploescalar de c y u es el vector cu = ( cu1,cu2)
el negativo de v es el vector
-v = (-1)v = (-v1,-v2)
4 la diferencia de u y v es
U – v = u + (-v) = (u1-v1,u2 – v2)
Geométricamente, el múltiplo escalar de un vector v y un escalar c es el vector que tiene IcI veces la longitud de v como se muestra en la figura 11.6 si c es positivo cv, tiene la misma dirección que v si ces negativo cvb tiene dirección opuesta
La suma de dos vectores puede representarse geométricamente colocando los valores (sin cambiar sus magnitudes o sus direcciones ) de manera que el punto inicial de uno coincida con el punto final del otro como se muestra en la figura el vector u + v llamado el vector resultante es la diagonal de un paralelogramo que tiene u y v como lados adyacentesLa figura 11.8 muestra la equivalencia de las definiciones geométricas y algebraicas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar y representado (en el extremo derecho) una interpretación geométrica de u – v



 



Vector en el espacio
en el espacio los vectores se denotan mediante temas ordenadas v = (v1,v2,v3) el vector cero se denota por cero 0 = (0,0,0) usando losvectores unitarios i = (1,0,0) j = (0,1,0) y k (0,0,1)
en la dirección del eje positivo z la notación empleado los vectores unitarios canónicos o estándar para v es
v= v1i + v2j + v3k
Como se muestra en la figura 11.19 si v se representa por el segmento de rectas dirigido de p (p1,p2,p3) a Q (q1,q2,q3) como se muestra en la figura 11.20 los componentes de v se obtienen restando las coordenadasdel punto inicial de las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto final como sigue
v= (v1,v2,v3)
vectores en el espacio
sea u = (u1,u2,u3) y v (v1,v2,v3) vectores en el espacio y sea c un escalar
igualdad de vectores u = v si y solo si u1 = v1,u2 = v2,u3 = v3
Expresión mediante las componentes si v se representa por el segmento de recta dirigido de p (p1,p2,p3)...