Integrales Triples

Integrales Triples

Definición:
Sea f : S ⊂ R3→R una función continua en donde S es un solido cerrado y acotado de R3. El propósito consiste en definir y obtener formulas para evaluar la integraltriple de f sobre S; la cual, por lógica extensión de la notación de integrales dobles, se denota como:


Si f ( x,y,z ) = 1 para todo ( x,y,z) en S entonces la integral triple def sobre Srepresenta el volumen V (S) de S :

V(S)= ʃʃʃ dV
S







Ejemplo 1:
Sin perdida generalidad consideremos la esfera S de centro en (0,0,0) y radio R, x2+y2+z2 menor o igual R2.Consideremos S como una región del tipo I se puede describir como el conjunto de puntos (x,y,z) tales que



Entonces:

Ejemplo 2:
Calcule el volumen del sólido S por los limitado por losparaboloides z= 6-x2-y2 y z= 2x2+y2
Solución: El sólido S esta abajo del primer paraboloide y arriba del segundo, y puede ser considerado del tipo I. La proyección de S sobre el plano xy es la región Dlimitada por la gráfica de la ecuación 2x2+y2= 6-x2-y2 o bien


una elipse. La simetría de D respecto al origen y de S respecto al eje z permiten obtener el volumen V de S como cuatro veces elvolumen en el primer octante. Por lo tanto,

Ejemplo 3:
Calcule el volumen del sólido S acotado por arriba por el plano 2x+z=3 y por abajo por el paraboloide z= x2+y2.
Solución:
Consideremos S comouna región del tipo I, su proyección sobre el plano xy es la región por la ecuación x2+y2= 3-2x ó (x+1)2 +y2= 4, un disco de radio de 2 y centro en (-1,0). El volumen del sólido es




la cual noes una integral fácil de evaluar.


Considerando que a S como región del tipo II, su proyección sobre el plano xz es la región D´ limitada por las curvas z=x2 (tomando y=0 en z= x2+y2) y z=3-2x.La intersección de estas curvas se dan cundo x= -3 y x= -1. Así, D´ está determinada por las desigualdades

Si un objeto sólido ocupa una región S del espacio y su densidad (en unidades de masa...