INTEGRALES TRIPLES


INTRODUCION A LA INTEGRAL
Introducción
El problema de hallar el área comprendida entre la gráfica de una función positiva y = f(x), el eje OX y las rectas x = a, x =b.
Dicha área se representaba como

Vimos que este problema estaba relacionado con el cálculo de una primitiva de f(x).
El Teorema de Barrow nos asegura que si F(x) es tal que F0(x) = f(x) entonces

Nuestro problema es elcálculo del volumen de un prisma de base rectangular R = [a, b] ã- [c, d] y limitado superiormente por la gráfica de una función z = f(x, y) Positiva.
A este volumen lo denotaremos por

Difiere del problema anterior en que no se resuelve encontrando una primitiva de f(x, y) (no tiene sentido), sino por el cálculo de volúmenes por secciones.
El volumen vendrá dado por la suma infinita de lasáreas de las secciones que se obtienen al cortar el cuerpo por planos paralelos al plano XZ, o también sumando las áreas de las infinitas secciones que se obtienen al cortar el cuerpo por planos paralelos al plano Y Z.


Donde

Considerando en cada caso la x o la y fija.
Así

El problema se convierte en el cálculo de una integral reiterada que ya sabemos resolver.


INTEGRAL TRIPLE
En elcaso de las integrales triples se siguen los mismos pasos que en las integrales dobles
Sea el paralelepípedo RSea f(x, y, z) una función continua sobre R
Definimos






Definición de la Integral triple
Si f es una función acotada y, existe el y no depende de la elección de
Los entonces se dice que f es integrable, y al valor de este límite se le llama integral triple sobre R, y serepresenta

Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1, entonces = V representa el volumen.
Propiedades.
Se cumplen las mismas propiedades que en la integral doble.
1. Toda función continua es integrable
2. Linealidad, monotonía y aditividad
3. Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede hallar por integración reiterada.
Integrales triples sobre regiones másgenerales
Se repite el mismo proceso que en las integrales dobles. Se consideran los siguientes tipos de regiones:
Tipo I: (paralelepípedo con paredes frontal y posterior rectas).

Las regiones del tipo II son aquellas en las que (paralelepípedos con paredes izquierda y derecha planas).
Las regiones del tipo III son aquellas en las que e(paralelepípedos con fondo y tapa planas).
Sus integralestriples se resuelven de manera análoga.
Las regiones del tipo IV son aquellas que se pueden expresar indistintamente como regiones de los tipos I, II o III.
Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1 y W es una región acotada de entonces






Cambio de variables en integrales triples
Es parecido al cambio de variables en integrales dobles.

A dxdydz se le llama elemento de volumen. Representa elvolumen de un paralelepípedo infinitesimal dxdydz = dV.
Sabemos que el volumen de un paralelepípedo en cuyos vectores
son
En valor absoluto
Por consideraciones análogas a las que hicimos para integrales dobles, el elemento de
Volumen dV = dxdydz, resultado de transformar mediante T el elemento de volumen dudvdw es:



Teorema del cambio de variable para integrales triples

 A menudo, es útil para reducir la complejidad de la integral cambiar una variable por otra que resulte más cómoda, sin embargo esto exige el cambio de la región de integración, además de añadir un factor de corrección al diferencial conocido como determinante jacobiano (en valor absoluto o módulo). El cambio de una variable por otra es en un sentido geométrico, una transformación desde un espaciohasta otro, y es esta transformación la que exige estos ajustes.
Si se utiliza una transformación que siga la relación:

Entonces se puede utilizar el jacobiano de la transformación para simplificar la integral

Integrando la función transformada en el dominio de integración correspondiente a las variables x, y multiplicando por el valor absoluto del determinante jacobiano y por la serie...