integrales triples

integrales triples

Introducción a integrales triples.-
Antes de hablar de las integrales triples y sus aplicaciones debemos conocer a fondo las integrales triples. ¿Recuerda cómo integrales doble puede escribirse como integrales iteradas. Integrales triples son esencialmente lo mismo que las integrales dobles. (Acabamos de añadir una tercera dimensión.)

Al igual que con las integrales dobles,el único truco es determinar los límites de las integrales iteradas.

Al realizar una "integral triple" de una función f(x,y,z) definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f(x,y,z)=1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico correspondea hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.

La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El dominio de integración se representa sobre cada signo de integral, o a menudo esabreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:




Definición Integral triple
Si f es una función acotada y, existe el y no depende de la elección de los entonces se dice que f es integrable, y al valor de este límite se le llama integral triple sobre R, y se representa

Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1, entonces = V representa el volumen.
Propiedades.
Se cumplen las mismaspropiedades que en la integral doble.
1. Toda función continua es integrable
2. linealidad, monotonía y aditividad
3. Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede hallar por integración reiterada

Ejemplo 1: Evaluar el siguiente integral.


Solución: Sólo para hacer el punto de que el fin no deja que importa a usar un orden distinto del que aparece arriba. Vamosa hacer la integral en el siguiente orden.


APLICACIONES DE INTEGRALES TRIPLES

Introducción a las integrales triples y sus aplicaciones.- Las aplicaciones de las integrales triples, son similares a las aplicaciones de las dobles.

Sus definiciones se obtienen a partir de la triple suma de Riemann; sin embargo a continuación se presentan de una vez con la integral triple correspondiente paracada una de ellas.

Las aplicaciones que se mencionan a continuación son: volúmenes de sólidos en el espacio, masa, momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia de cuerpos en el espacio
Volumen de un sólido en el espacio.-

Ejemplo 1: Determine el volumen del sólido B acotado por las superficies:
y = 4,
y = x^2,
z = 0
z = 4− y .






Masa de un sólido en el espacio.- Considere unaregión tridimensional B, no homogénea, esto es que su densidad ρ varía en cada punto (x,y,z B )∈ B , donde la función densidad está expresada en unidades de masa por unidad de volumen, entonces la masa se obtiene como la integral triple de la función densidad sobre la región B, tal como se define a continuación:



Ejemplo 2:






Centro de masa.- A continuación se define el centro de masa para unsólido tridimensional como un punto P x, ( y,z), donde las coordenadas de este punto se obtienen de las ecuaciones:


Ejemplo 3:





Momentos de inercia.- Los momentos de inercia del sólido B respecto a los planos coordenados, se obtienen como sigue:

Ejemplo 4:





Integrales de superficie

La integral de superficie es una extensión del concepto de integral doble, de igual modo en que laintegral de línea es una extensión del concepto de integral de Riemann clásica. Como el nombre lo dice, es aquella integral cuya función es evaluada sobre una superficie.

Se define la integral de superficie de una función escalar  en el espacio tridimensional R3 respecto a una superficie S representada por la función vectorial continua


Si la superficie S es la imagen de la región T en el plano...