Introducci N A Diferencias Finitas Bo Hellip
Páginas: 8 (1900 palabras)
Publicado: 11 de abril de 2015
INTRODUCCIÓN A DIFERENCIAS FINITAS
Andrés Botalla
andres.botalla@hotmail.com
Diego Cortez
diegocf91@hotmail.com
Mauro Cañibano
maurocanibano@economicas.uba.ar
Introducción
El objetivo de este trabajo es desarrollar didácticamente las características y propiedades de las
diferencias finitas, que constituye una herramienta fundamental para la resolución de otros tipo de
problemas, ya sea en elámbito económico o actuarial, por ejemplo en sumación, interpolación,
resolución numérica de ecuaciones diferenciales, entre otros. Acerca de este último, se hace una
presentación al final.
1.Diferencia descendente
1.1. Definición
La diferencia descendente se define como
f ( x)
f ( x h)
y aplicada a una función, f(x), provoca:
f ( x)
Ésa es la diferencia descendente de primer orden de f(x)
Ladiferencia descendente de segundo orden se define como:
Y la diferencia descendente de orden n
A continuación vemos como se observan en una tabla las sucesivas diferencias de una función para
cada uno de sus argumentos
Hay n+1 argumentos. En este caso n+1=5.Entonces habrán n diferencias descendentes, en este caso 4.
El primer argumento es el que tiene n diferencias, es decir, se puede calcularsu diferencia enésima, en
este caso la diferencia cuarta. Se observa que se llama diferencia descendente porque las sucesivas
diferencias de los argumentos de una función se encuentran en la diagonal descendente de la tabla.
1.2. Propiedades del operador
p q
1) Exponentes
2) Conmutativa
3) Asociativa
p q
f ( x)
p q
p q r
f ( x)
q p
f ( x)
f ( x)
f ( x) ( p q ) r f ( x )
4) Diferenciade una constante
Ya que k k k 0
k
p
( q r ) f ( x)
0
Cuando aplico la definición de diferencias no hay variable independiente a desplazar en h, por ende sólo
queda k. Y cuando resto f(x), es decir k, sucede que el resultado de la operación es cero.
5) Distributiva respecto de la suma de funciones ponderadas por constantes
p
f ( x)
a1 f1 ( x) a2 f 2 ( x) ... a p f p ( x)
a s f s ( x)
s 1Sea
Donde as son constantes (1,2,..,p)
n
n
f ( x)
n
n
a s n f s ( x)
a s f s ( x)
s 1
s 1
Para n=1,2,3…
La demostración es a partir de inducción matemática completa que consiste en comprobar que una
cierta propiedad vale para el primer elemento de un conjunto ordenado de infinitos elementos, por
hipótesis inductiva se supone que vale para el elemento n-1, y se prueba que necesariamente valepara
el elemento n. Entonces vale para todo elemento del conjunto.
Pruebo que vale para n=1
Aplicando definición de diferencias
Por hipótesis inductiva, supongo que vale para cuando n= n-1
n
n 1
n 1
f ( x)
n
a s n 1 f s ( x)
a s f s ( x)
s 1
s 1
Pruebo que vale para n=n
6) Diferencia de primer orden de un producto de funciones
Aplicando la definición de diferencias
Como
f ( x h)
f( x)
g ( x h)
g ( x) g ( x)
Reemplazando
f ( x)
Despejando y sacando factor común
7) Diferencia de primer orden de un cociente de funciones
f ( x)
g ( x)
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x)
g ( x) g ( x h)
Aplicando al definición de diferencias y obteniendo común denominador
f ( x)
g ( x)
f ( x h)
g ( x h)
f ( x)
g ( x)
f ( x h) g ( x) f ( x) g ( x h)
g ( x h) g ( x)
Como
f ( x h)
f (x)
f ( x)
g ( x h)
g ( x) g ( x)
Reemplazo sólo en el numerador y operando
El operador
es la contraparte en tiempo discreto de
d
dt
1.3. Operador desplazamiento o de Boole
También conocido como operación traslación, lag, backward o forward según el exponente que
presente. Aplicado a f(x) produce la siguiente transformación:
Ef ( x)
f ( x h)
Algunas de sus propiedades son:
1)Exponentes
E p q f ( x)
E p E q f ( x)
2) Conmutativa
E p E q f ( x)
E q E p f ( x)
3) Asociativa
4) Distributiva respecto de una suma de funciones ponderadas por constantes
p
f ( x)
a1 f1 ( x) a2 f 2 ( x) ... a p f p ( x)
a s f s ( x)
s 1
Donde as son constantes (1,2,..,p)
p
E n f ( x)
En
p
a s f s ( x)
s 1
p
s 1
s 1
Por definición del operador desplazamiento
p
E n f ( x)
En
p...
Andrés Botalla
andres.botalla@hotmail.com
Diego Cortez
diegocf91@hotmail.com
Mauro Cañibano
maurocanibano@economicas.uba.ar
Introducción
El objetivo de este trabajo es desarrollar didácticamente las características y propiedades de las
diferencias finitas, que constituye una herramienta fundamental para la resolución de otros tipo de
problemas, ya sea en elámbito económico o actuarial, por ejemplo en sumación, interpolación,
resolución numérica de ecuaciones diferenciales, entre otros. Acerca de este último, se hace una
presentación al final.
1.Diferencia descendente
1.1. Definición
La diferencia descendente se define como
f ( x)
f ( x h)
y aplicada a una función, f(x), provoca:
f ( x)
Ésa es la diferencia descendente de primer orden de f(x)
Ladiferencia descendente de segundo orden se define como:
Y la diferencia descendente de orden n
A continuación vemos como se observan en una tabla las sucesivas diferencias de una función para
cada uno de sus argumentos
Hay n+1 argumentos. En este caso n+1=5.Entonces habrán n diferencias descendentes, en este caso 4.
El primer argumento es el que tiene n diferencias, es decir, se puede calcularsu diferencia enésima, en
este caso la diferencia cuarta. Se observa que se llama diferencia descendente porque las sucesivas
diferencias de los argumentos de una función se encuentran en la diagonal descendente de la tabla.
1.2. Propiedades del operador
p q
1) Exponentes
2) Conmutativa
3) Asociativa
p q
f ( x)
p q
p q r
f ( x)
q p
f ( x)
f ( x)
f ( x) ( p q ) r f ( x )
4) Diferenciade una constante
Ya que k k k 0
k
p
( q r ) f ( x)
0
Cuando aplico la definición de diferencias no hay variable independiente a desplazar en h, por ende sólo
queda k. Y cuando resto f(x), es decir k, sucede que el resultado de la operación es cero.
5) Distributiva respecto de la suma de funciones ponderadas por constantes
p
f ( x)
a1 f1 ( x) a2 f 2 ( x) ... a p f p ( x)
a s f s ( x)
s 1Sea
Donde as son constantes (1,2,..,p)
n
n
f ( x)
n
n
a s n f s ( x)
a s f s ( x)
s 1
s 1
Para n=1,2,3…
La demostración es a partir de inducción matemática completa que consiste en comprobar que una
cierta propiedad vale para el primer elemento de un conjunto ordenado de infinitos elementos, por
hipótesis inductiva se supone que vale para el elemento n-1, y se prueba que necesariamente valepara
el elemento n. Entonces vale para todo elemento del conjunto.
Pruebo que vale para n=1
Aplicando definición de diferencias
Por hipótesis inductiva, supongo que vale para cuando n= n-1
n
n 1
n 1
f ( x)
n
a s n 1 f s ( x)
a s f s ( x)
s 1
s 1
Pruebo que vale para n=n
6) Diferencia de primer orden de un producto de funciones
Aplicando la definición de diferencias
Como
f ( x h)
f( x)
g ( x h)
g ( x) g ( x)
Reemplazando
f ( x)
Despejando y sacando factor común
7) Diferencia de primer orden de un cociente de funciones
f ( x)
g ( x)
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x)
g ( x) g ( x h)
Aplicando al definición de diferencias y obteniendo común denominador
f ( x)
g ( x)
f ( x h)
g ( x h)
f ( x)
g ( x)
f ( x h) g ( x) f ( x) g ( x h)
g ( x h) g ( x)
Como
f ( x h)
f (x)
f ( x)
g ( x h)
g ( x) g ( x)
Reemplazo sólo en el numerador y operando
El operador
es la contraparte en tiempo discreto de
d
dt
1.3. Operador desplazamiento o de Boole
También conocido como operación traslación, lag, backward o forward según el exponente que
presente. Aplicado a f(x) produce la siguiente transformación:
Ef ( x)
f ( x h)
Algunas de sus propiedades son:
1)Exponentes
E p q f ( x)
E p E q f ( x)
2) Conmutativa
E p E q f ( x)
E q E p f ( x)
3) Asociativa
4) Distributiva respecto de una suma de funciones ponderadas por constantes
p
f ( x)
a1 f1 ( x) a2 f 2 ( x) ... a p f p ( x)
a s f s ( x)
s 1
Donde as son constantes (1,2,..,p)
p
E n f ( x)
En
p
a s f s ( x)
s 1
p
s 1
s 1
Por definición del operador desplazamiento
p
E n f ( x)
En
p...
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